线性方程组的解的结构.ppt

§3.4 线性方程组的解的结构 （一）齐次线性方程组解的结构 即： 设 是 的解向量，如果 定理4.2.3 设A是m×n矩阵，如果r(A)=rn,则齐次线性方程组AX=0的基础解系存在，且每个基础解系中含n-r个解向量. B对应齐次线性方程组为 原方程AX＝0与上式同解. 取 为自由未知量。 对这n-r个自由未知量分别取 由同解方程组依次可得： 这样得到AX=0的n-r个解向量 下面证明 构成齐次线性方程组AX=0的一个基础解系. 小结: (1)定理的证明过程提供了求AX=0的基 础解系的方法． (2)自由未知量的选取不是唯一的．实 际上，在BX=0中，任何r个未知量只要它们 的系数行列式不等于零，都可作基本未知 量，其余的n—r个未知量为自由未知量． (3)n—r个自由未知量的取值也不是唯一的, 但一般取后n-r个未知量． (4)基础解系不是唯一的． (5)当r(A)=rn，且求得 为一 个基础解系时，就有， 为AX=0的解，称为一般解或通解，其中k1， k2，…，kn-r为任意实数． 今天作业： P169 16(1)(2) * 复习： （四）向量组的秩 向量组的秩及极大无关组的求法： 将向量组合成矩阵，进行初等行 变换得到阶梯阵，非零行的行数为向 量组的秩，主元所对应的列向量组为 极大线性无关组。 看几个例子： 1）设A和B为同阶矩阵，则: r(A+B)≤r(A)+r(B) 推论1 向量组（B）可由向量组（A）线性表示。如果向量组（B）线性无关，则t≤s。 5).向量组(A) α1,α2,…,αs与向量组(B) β1,β2 ,…, βt 的秩分别为r1和r2，向量组 (C)α1,α2,…,αs, β1,β2 ,…, βt 的秩为r，则 r≤r1+r2 的矩阵形式 定义3.9 如果X1,…,XS是齐次线性方程组的解向量组（集合）的一个极大线性无关组，则称X1,…,XS是方程组的一个基础解系。 已经知道：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩r(A)n. 证：对A施行初等行变换，将A化为行最 简形阶梯矩阵。不妨设 即 以 为列向量组构成一个矩阵C