ch 9 多元函数微分法及其应用.docVIP

第九章 多元函数微分法及其应用 教学目的： 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 7、多元函数极值和条件极值的求法。 教学难点： 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法； 7、多元函数的最大值和最小值。 §9( 1 多元函数的基本概念 一、平面点集n维空间 1．平面点集 由平面解析几何知道( 当在平面上引入了一个直角坐标系后( 平面上的点P与有序二元实数组(x( y)之间就建立了一一对应( 于是( 我们常把有序实数组(x( y)与平面上的点P视作是等同的( 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面( 二元的序实数组(x( y)的全体( 即R2(R(R({(x( y)|x( y(R}就表示坐标平面( 坐标平面上具有某种性质P的点的集合( 称为平面点集( 记作 E({(x( y)| (x( y)具有性质P}( 例如( 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C({(x( y)| x2(y2(r2}( 如果我们以点P表示(x( y)( 以|OP|表示点P到原点O的距离( 那么集合C可表成 C({P| |OP|(r}( 邻域( 设P0(x0( y0)是xOy平面上的一个点( (是某一正数( 与点P0(x0( y0)距离小于(的点P (x( y)的全体( 称为点P0的(邻域( 记为U (P0( (?( 即 或( 邻域的几何意义( U (P0( ()表示xOy平面上以点P0(x0( y0)为中心、( 0为半径的圆的内部的点P (x( y)的全体( 点P0的去心(邻域( 记作( 即 ( 注( 如果不需要强调邻域的半径(( 则用U (P0)表示点P0的某个邻域( 点P0的去心邻域记作( 点与点集之间的关系( 任意一点P(R2与任意一个点集E(R2之间必有以下三种关系中的一种( (1)内点( 如果存在点P的某一邻域U(P)( 使得U(P)(E( 则称P为E的内点( (2)外点( 如果存在点P的某个邻域U(P)( 使得U(P)(E((( 则称P为E的外点( (3)边界点( 如果点P的任一邻域内既有属于E的点( 也有不属于E的点( 则称P点为E的边点( E的边界点的全体( 称为E的边界( 记作(E( E的内点必属于E( E的外点必定不属于E( 而E的边界点可能属于E( 也可能不属于E ( 聚点( 如果对于任意给定的((0( 点P的去心邻域内总有E中的点( 则称P是E的聚点( 由聚点的定义可知( 点集E的聚点P本身( 可以属于E( 也可能不属于E ( 例如( 设平面点集 E({(x( y)|1(x2(y2(2}( 满足1(x2(y2(2的一切点(x( y)都是E的内点( 满足x2(y2(1的一切点(x( y)都是E的边界点( 它们都不属于E( 满足x2(y2(2的一切点(x( y)也是E的边界点( 它们都属于E( 点集E以及它的界边(E上的一切点都是E的聚点( 开集( 如果点集E 的点都是内点( 则称E为开集( 闭集( 如果点集的余集E c为开集( 则称E为闭集( 开集的例子( E({(x( y)|1x2(y22}( 闭集的例子( E({(x( y)|1(x2(y2(2}( 集合{(x( y)|1(x2(y2(2}既非