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1.3.3导数的实际应用(日照实验高中导学案).doc
日照实验高中2007级数学导学案-----导数
1.3.3导数的实际应用
学习目标:
掌握导数在解决实际问题中的应用
学习重点难点:
掌握导数在解决实际问题中的应用.
自主学习:
一、知识再现:
利用导数求函数极值和最值的方法
二、新课探究:
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面:
1、与几何有关的最值问题;
2、与物理学有关的最值问题;
3、与利润及其成本有关的最值问题;
4、效率最值问题。
解决实际问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路:
三、例题解析:
例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?
解法一:设箱底边长为xcm,则箱高cm,得箱子容积
.
令 =0,
解得 x=0(舍去),x=40, 并求得 V(40)=16 000
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16 000是最大值
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16 000cm3
解法二:设箱高为xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积
.(后面同解法一,略)
由题意可知,当x过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点处.事实上,可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值
例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?
解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积S=2πRh+2πR2
由V=πR2h,得,则S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2
令 +4πR=0
解得,R=,
从而h====2
即h=2R, 因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值
答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省
变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料最省?
提示:S=2+h=
V(R)=R=
)=0 .
例3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为.求产量q为何值时,利润L最大?
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
解:收入,
利润
令,即,
求得唯一的极值点
答:产量为84时,利润L最大
课堂巩固:
用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
归纳反思:
合作探究
1.某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 分,其中 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?
2.已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y =4-x2在x轴上方的曲线上,求这种矩形中面积最大者的边长.
教师备课
学习笔记
教师备课
学习笔记
教师备课
学习笔记
作答
解决数学模型
建立数学模型
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
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