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利用矢量图研究抛体最大射程问题 鲁建全 （郑州外国语学校，河南 郑州 450001） 最大射程问题是抛体运动中颇具挑战性的题目，一般是利用函数求极值的方法解决．但在遇到比较复杂的问题时，得出的函数表达式也比较复杂，对大多数高中生来说，要想研究他们的极值，难度很大，数学成了他们解决此类问题的拦路虎．本文改变传统思维方式，利用矢量图研究最大射程问题，数形结合，不需要复杂的计算，希望对读者有所启发． 题目一：水平面上一个小球（可看作质点），以初速度v0斜向上抛出，初速度方向与水平面夹角α为多大时，小球水平射程最远？最远射程是多少？ 分析：设全过程经过时间t，小球落回水平面的末速度为vt，由机械能守恒可知，末速度大小vt=v0．全过程速度矢量的改变量Δv=gt，方向竖直向下．画出速度矢量图如图1所示． 小球水平位移x=vxt，矢量v0与vt所构成矢量三角形面积S=Δvvx=vxgt，可得x=S．v0方向不同，矢量三角形面积也不同，如图2所示．当v0朝某一方向使矢量三角形面积S最大时，小球水平射程x就达到最大．这样就把研究最大射程问题转化为研究三角形面积何时最大的问题了． 由矢量三角形可看出，当vt与v0垂直时，v0与vt所构成矢量三角形面积最大． 分析如下：我们可把v0作为三角形的底边而固定不动，vt作为三角形的一个腰，方向相对v0改变时，三角形的高就相应改变，当vt与v0垂直时，三角形的高达到最大等于vt，此时三角形的面积达到最大值Sm=v0vt=v0 2，如图3所示． 通过上述分析，题目一的结论我们就不难得出了． 结论：当vt与v0垂直时，小球水平射程有最大值xm=Sm=．此时初速度方向与水平面夹角α=． 题目二：距水平面高为h处一个小球（可看作质点），以初速度v0斜向上抛出，初速度方向与水平面夹角α为多大时，小球水平射程最远？最远射程是多少？ 分析：题目二的思路和题目一是一致的．由机械能守恒定律，有，得vt=，即末速度大小不变．速度矢量图如图4所示． 小球水平位移仍是x=S．v0矢量末端在以v0为半径的圆弧上，而vt矢量末端在以vt为半径的圆弧上，v0方向变化时，vt方向也相应变化，对应的三角形面积也跟着变化．与前题一样，当vt与v0垂直时，v0与vt所构成矢量三角形面积最大．最大面积Sm=v0vt=，如图5所示． 结论：当vt与v0垂直时，小球水平射程有最大值xm=Sm=．此时v0与水平方向夹角等于vt与竖直方向夹角，可得tanα==．即初速度方向与水平面夹角α=arctan． 题目三：与水平面夹角为θ斜面上一个小球（可看作质点），以初速度v0斜向上抛出，初速度方向与水平方向夹角α为多大时，小球沿斜面方向上射程最远？最远射程是多少？ 分析：小球落在斜面上的水平方向分位移最大时，小球沿斜面方向上射程就达到最远，速度矢量图如图6所示． 小球末速度大小随初速度方向的不同而不同，这个矢量三角形有什么规律呢？我们把此抛体运动沿垂直于斜面和平行于斜面两个方向分解，垂直于斜面方向，小球做类似竖直上抛运动．垂直于斜面方向小球上升和下降时间相等，中点时刻小球离斜面距离最远，此时小球速度v中方向平行于斜面．这也意味着前半段时间和后半段时间小球速度矢量的变化量相等，即Δv前=Δv后=gt． 当v0方向变化时，vt方向及大小也相应变化，对应的三角形面积也跟着变化．同样当vt与v0垂直时，v0与vt所构成矢量三角形面积最大，如图7所示． 分析如下：v0与vt所构成矢量三角形面积可分为上下两部分，上半部分由v0、v中和Δv前构成的矢量三角形面积S上=S，我们只需研究当v0方向朝何处，使矢量三角形面积S上达到最大．我们可把v0作为三角形的底边而固定不动，v中和Δv前作为三角形的两个腰，可以看出，v中和Δv前所夹角度即三角形的顶角β=-θ，是定值．从而可知角度改变时三角形的顶点始终落在同一个圆周上，如图8所示．当v中和Δv前大小相等时，面积S上达到最大．可以证明，此时vt与v0刚好垂直． 结论：当vt与v0垂直时，小球在斜面上的射程最远．初速度方向与水平方向夹角α==， 小球落在斜面上的末速度vt=， v0与vt所构成矢量三角形最大面积Sm=v0vt=， 小球落在斜面上的水平方向分位移xm =Sm=， 小球在斜面上的最远射程dm ==． （本文发表在《物理教师 3