R2n中星形超曲面上的Lagrange轨道和正定型超曲面上的闭特征.pdf

Y968932 南 开大 学 博士研究生毕业(学位)论文 论文题目： R2“中星形超曲面上的Lagrange轨道 和正定型超曲面上的闭特征 姓 名： 郭飞 年 级： 二oo三级 专 业： 基础数学 研究方向： 非线性分析 指导教师： 刘春根教授 oo六年四月 摘要 的存在性与多重性问题和固定能量面上闭特征的多重性与稳定性问题． 连续曲线z：f0，7．】一R2n满足 r (删P卜珧o@”w∈【o’7】， l z(o)，z(下)∈L， 这里L，：fo一厶1是R2n中标准的辛矩阵，蝇(2)是R2n中的超曲面E上的 ＼厶 o，， 点z处的单位外法向量，L是辛向量空间(R2“，uo)里一个的La盯ange子空间，其 题与刘春根教授在文【1】中研究LagraⅡge相交数时提出的问题有很大的关系．本 文也得到了一个关于相交数的结果．事实上，固定能量面上具有Lagrange边值 的Hmnton系统的轨道问题恰好是Arnold chord猜想(见【2】)的一种特殊情况．对 于二阶系统的两点边值问题 慨柒≯ 其中矿∈伊(R×Ⅳ，R)，人们可以通过降阶法把它变成带￡o-Lagrange边值条件的 一阶HaIIlilton系统．这里，Lo={o)o R，是R2叫1的橱准Lagrange子空间． !! 擅塞 本文的第一章研究星形能量面上具有Lagrange边值的Hamilton系统的轨道的 存在性和多重性问题首先，利用变分原理讨论了R2n中的以原点为星形中心的星 形超曲面上的Lagrange边值轨道的存在性．然后，利用z。指标理论讨论了R抑中的 关于原点对称且以原点为星形中心的星形超曲面上的Lagrange边值轨道的多重性 本文证明了下面一些结论： 定理l对Ip中的每一个Lagrange子空间L，每一个e1光滑紧星形超曲面 上(原点为星形中心)至少存在一个起止于L的Lagr粕ge轨道． 定理2对Ip中的每一个Lagrange子空间L，每一个C2光滑的关于原点对称的 紧星形超曲面上(原点为星形中心)有无穷多个起止于L的Lagrange轨道． 由这里的定理2我们马上可以得到一个关于相交数的结果： 推论3若∑是一个G2光滑的关于原点对称的星形超曲面(原点为星形中心)，∥ 是∑的contact 流形，则L’与{∥(L川t0)的相交数是无穷多个，即 一 o{L7n{妒。(∥)lto)}=o。 在文[3】和[4】中，K．Mohnke和马仁义、徐向东分别用不同于我们的方法证明了 类似定理1的存在性结果．【3】用的方法主要是几何(辛拓扑)的方法，【4]虽然也是用 变分方法，但也与我们这里的方法不同．据我们所知，此前在这类问题上仅有上面 提到的文[3】和【4]的关于存在性的结果，我们这里的定理2是这类问题的第一个关于 多重性的结果．事实上，对于一般的星形超曲面，上述问题存在两个解的问题也没 有被解决． 对于Hamilton系统周期解的研究可以从两个方面来考虑：一方面，对于非自 治的HaIIlilton系统，给定周期，考虑其周期解的存在性(例如最小周期问题、渐近 线性系统的情况和辛流形上H锄ilton微分同胚的不动点问题)、多重性和稳定性； 另一方面，对于自治的H眦ilton系统，在固定的能量面上考虑周期解的存在性、 多重性和稳定性，这就是通常所说的闭特征问题，即，找f0和一条绝对连续曲 线z：【o，f]_R“使得 r l j(t)=J盹(。(t))，Vt∈R，