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数 学 模 型 主讲： 林 健 良 第一章 数学模型导言 §1.1数学与数学模型 1．1．1何谓数学模型 先让我们来看一个简单的例子. 例1.1 现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件.问如何裁剪，才能最省料？ 解：先设计几个裁剪方案. 方案1,如图，在100×50的板料上可裁剪出两块40×40的零件和一块50×20的零件（图中分别用A、B表示）. A A B ////////////////////////////// 同样，求出方案2 A B B B ////////////// 方案3 B B B B B 显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法.最佳方法应是三个方案的优化组合.设方案i使用原材料xi件(i=1,2,3).共用原材料f件.则根据题意，可用如下数学式子表示： 最优解有四个： x1 12 11 10 9 x2 1 3 5 7 x3 3 2 1 0 f 的最小值为16. 这是一个整数线性规划模型. 数学模型-------描述实际问题数量规律的、由数学符号组成的、抽象的、简化的数学命题、数学公式或图表及算法. 1.1.2 数学建模的方法与步骤 建模的步骤一般分为下列几步. (1)模型准备.首先要了解问题的实际背景,明确题目的要求,搜集各种必要的信息. (2)模型假设.为了利用数学方法,通常要对问题作出必要的、合理的简化,使问题的主要特征凸现出来,忽略问题的次要方面. (3)模型构成.根据所作的假设以及事物之间的联系,构造各种量之间的关系把问题化为数学问题.要注意尽量采取简单的数学工具,因为简单的数学模型往往更能反映事物的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用. (4)模型求解.利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题.这时往往还要作出进一步的简化或假设. (5)模型分析.对所得到的解答进行分析,特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定. (6)模型检验.分析所得结果的实际意义,与实际情况进行比较,看是否符合实际,如果结果不够理想,应该修改、补充假设或重新建模,有些模型需要经过几次反复,不断完善. (7)模型应用.所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益,在应用中不断改进和完善. 各步骤之间的关系可用图1.1.1表示. §1.2数学模型的分类 在实际应用中，数学模型可以按不同的方式分类. 数学模型可以按照不同的方式分类. 按模型的应用领域分 可分为生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等.更详细一些,有人口模型、交通模型、环境模型、生态模型等等. 按建立模型的数学方法分 可分为几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型等等. 按是否考虑随机因素分 可分为确定性模型和随机性模型两类. 按是否考虑模型随时间的变化分 可分为静态模型和动态模型. 按变量的取值情况分 可分为离散模型和连续模型. 按目前人们对事物发展过程的了解程度分 可分为白箱模型、灰箱模型和黑箱模型. ☆ 白箱模型-----主要指那些内部规律比较清楚的模型,如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题,这些问题大多早已化为比较成熟的数学闸题,解决这些问题大多注重数学方法的改进,优化设计和控制等. 灰箱模型------主要指那些内部规律尚不十分清楚,在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题,如生态学、气象学、经济学等领域中的模型. 黑箱模型------主要是指一些其内部规律还很少为人们所知的现象,如生命科学、社会科学等领域的问题,这类问题多利用统计方法研究.有些工程技术问题,理论上可用白箱模型研究,但由于因素众多、关系复杂,也可简化为黑箱模型来研究. §1.3数学建模的重要作用 自然科学各领域的研究工作，要达到一定的深度，都离不开数学这个强有力的工具。而数学模型是实际问题与数学工具之间的桥梁。 §1.4 一个有趣的例 海盗分金 有五个海盗得100枚金币，在如何分赃问题上争吵不休。于是他们决定： (1)抽签决定人的号码(12,3,4,5) (2)由1号提出分配方，然后5人表决，如果方案过半数同意就被通过，则他将被扔进海喂； (3)1号死后，2号提方案，4人表决，当超过半数同意时方案通过，则2号同样被扔进入海喂； (4)此类推，直到方案通过假定每个海盗。如果你是海盗，你该如何提出分配方案才能够使自的收益最化 这个 5号不用说了，他的不得把人都送去喂鱼。看4号：如果13号海盗都喂了鱼，只剩4号5号的话，5号一定投反对票让4号喂鱼，以独吞全部金币。所以， 4号惟有支持3号才能保命。3号这个策略，就会提分配方案对4号5号一毛不拔而将全部金