4.1单原子结构基元情况下的晶格振动.ppt

4.1 一维单原子链 第 4 章 声子（I）：晶格振动 固体物理导论 晶格振动与格波　 实际晶体中的原子并非完全固定不动，原子是不断运动的，具有动能，但是通常情况下原子又不能远离格点，被束缚在格点附近做周期性振动 由于晶体具有周期性结构，可以预想晶格振动在晶体中将以波的形式传播，这就是所谓的格波 立方晶体中沿高对称方向的格波　 在立方晶体中，当格波沿 [1 0 0] 、 [1 1 0] 、 [1 1 1] 三个方向传播时，整个原子平面作同相位运动，其位移方向平行或者垂直于波矢的方向，因此我们可以通过单一坐标 un 来描述平面 n 离开其平衡位置的位移；于是问题就变为一维的问题，这即等价于处理一维原子链的振动问题 立方晶体中沿高对称方向的纵波横波　 对每个波矢，存在3种模式：1个纵向极化和2个横向极化 一维单原子链的相互作用势　 设晶格常量为 a ，原子 n 偏离平衡位置的位移为 un，只考虑最近邻的相互作用，晶格振动时相邻两原子间距的增量为 晶格作小幅度振动，即 |d |a ，则相邻两原子的相互作用能可以展开为 其中 V(0) 为相邻两原子在间距等于晶格常量时的相互作用能，一般可取为0，而 为相邻原子间的作用力 忽略高阶项，只保留到2阶项，则 该近似称为简谐近似，在该近似下，原子间的相互作用力 即该力是弹性恢复力，式中 C 是力常量 简谐近似 第 n 个原子的所受作用力为 系统的总势能 一维单原子链的运动方程与解 第 n 个原子的运动方程 每个原子对应一个方程，如果原子链有 N 个原子则有 N 个方程，上式实际上就是 N 个联立的齐次方程组 上述方程具有波动形式的解 验证：把该解代入运动方程 即 格波的色散关系 4.1. 1 第一布里渊区 格波的波矢 K 的取值范围？对于指数函数 如果 Ka 改变 2p 值，结果并没有什么不同，因为 所以 Ka 可以取在 –p 与 p 之间，已涵盖该指数函数的所有独立值 或 此即一维单原子链的第一布里渊区 第一布里渊区以外的 K 值不过是再现了第一布里渊区内的 K 值所描述的晶格振动而已 对于格点振动来说，图中实线所代表的波并不能给出比虚线更多的信息 假定某 K′值超出了第一布里渊区，其值总可以经过适当的平移移入第一布里渊区内 其实 是一个倒格矢，所以第一布里渊区外的波矢减去一个适当的倒格矢总可以在第一布里渊区内得到一个等价的波矢 相邻原子的相位是相反的，这个波既不向右运动又不向左运动 对于布里渊区边界处的波矢 ，其解并不代表一个行波，而是表示一个驻波 这种情况相当于X射线的布拉格反射：当满足布拉格条件是，行波不能在晶体中传播，而是来回反射形成驻波