算法合集之《如何解决好动态统计问题》.ppt

如何解决好动态统计问题 广东省中山市第一中学 余江伟 wintokk@ 【引言】 在信息学竞赛中，统计问题十分常见。请看一个例子： 在长度为N (2≤N≤106)的序列上进行M次以下操作： 【引言】 利用线段树，可以轻松设计出时间复杂度O(MlogN)、空间复杂度O(N) 的算法。  详见2004年薛矛前辈的论文 【引言】 线段树在本题取得成功的原因 高效的组织结构 很好地支持区间操作 前提条件——本题中，序列项与项之间隐含着严格不变的次序关系 当统计对象次序发生大规模变化，线段树就显得力不从心了，必须寻找更优秀的解法 【例一】维护序列 (NOI2005) 写一个程序维护一个序列，支持6种操作： INSERT a {cn} 在序列第 a 项后插入长度为 n 序列 DELETE a b 删除序列的第 a 项到第 b 项 MAKE-SAME a b c 把序列的第 a 项到第 b 项的值统一改为c REVERSE a b 把序列的第 a 项到第 b 项首尾翻转后放回原位 GET-SUM a b 输出序列的第 a 项到第 b 项的和 MAX-SUM 求序列中和最大的一段非空子列，并输出最大和 【例一】维护序列 (NOI2005) 写一个程序维护一个序列 INSERT a {ck} DELETE a b MAKE-SAME a b c REVERSE a b GET-SUM a b MAX-SUM 【例一】维护序列 (NOI2005) 初步分析 本题需要模拟一个序列的变化过程并随时统计相关求和信息 具有操作种类多、规模大的特点 朴素算法 数组/链表模拟，只能拿到部分分数 更优秀的算法 块状链表（参考解答），综合数组、链表的优势 树形结构 【例一】维护序列 (NOI2005) 关键问题——表示操作 【例一】维护序列 (NOI2005) 关键问题——表示操作 如何表示 二叉查找树(BST)表示序列 每个节点记录一个数 BST中序遍历结果为原序列 一棵表示(-5,-2,-1,1,6,-7,8,10,-5,19,0,21,22,3,-4)的BST 【例一】维护序列 (NOI2005) 关键问题——表示操作 如何操作 不难发现，大多数操作都是围绕某个“连续段”进行的 “连续段”在BST中可能比较分散，我们希望把这些节点聚集起来 伸展树 【例一】伸展树简介 伸展树是一种自适应(Self-Adjusting)的BST。具体地说，每次访问一个节点后，按照一定规则进行旋转，将其调整为树的根。 【例一】伸展树简介 伸展树是一种自适应(Self-Adjusting)的BST。具体地说，每次访问一个节点后，按照一定规则进行旋转，将其调整为树的根。 伸展树的旋转规则 Zig/Zag Zig-Zig/Zag-Zag Zig-Zag/Zag-Zig 【例一】伸展树简介 伸展树是一种自适应(Self-Adjusting)的BST。具体地说，每次访问一个节点后，按照一定规则进行旋转，将其调整为树的根。 伸展树的旋转规则 Zig/Zag Zig-Zig/Zag-Zag Zig-Zag/Zag-Zig 【例一】伸展树简介 伸展树是一种自适应(Self-Adjusting)的BST。具体地说，每次访问一个节点后，按照一定规则进行旋转，将其调整为树的根。 伸展树的旋转规则 Zig/Zag Zig-Zig/Zag-Zag Zig-Zag/Zag-Zig 【例一】伸展树简介 伸展树是一种自适应(Self-Adjusting)的BST。具体地说，每次访问一个节点后，按照一定规则进行旋转，将其调整为树的根。  伸展树的旋转规则 Zig/Zag Zig-Zig/Zag-Zag Zig-Zag/Zag-Zig 【例一】伸展树简介 按照以上规则将节点调整到根的过程称为伸展操作。可以证明，伸展操作的平摊复杂度为O(logN)。 利用伸展操作，可以完成所有BST的基本操作。 针对本题，在节点上记录子树的大小(Size)，可以实现第K个节点的查找功能(SplayKth)。这也是解决本题的核心过程。 【例一】核心过程伪代码(1) SplayKth(p, kth) // 把以 p为根的子树下第kth个节点提到子树的根，并返回节点编号 if Size[Left[p]]+1 = kth then return p if Size[Left[p]] ≥ kth then x ← Left[p] if Size[Left[x]]+1 = kth then return Zig( x, p ) if Size[Left[x]] ≥ kth then