特征值与特征向量 矩阵简单应用.docVIP

本资料来源于《七彩教育网》 26.5 特征值与特征向量 矩阵的简单应用 【】 【】= ( ) A、 B、 C、 D、 答案：C。解析：。 （3）设某校午餐有A、B两种便当选择，经统计数据显示，今天订A便当的人，隔天再订A便当的机率是；订B便当的人，隔天再订B便当的机率为，已知星期一有40%的同学订了A便当，60%的同学订了B便当，则星期四时订A便当同学的比率为 （ ） A、 B、 C、 D、 答案：D。解析：设M=，则M3。 （4）矩阵的特征值是 。 答案：-4或2。解析：矩阵M的特征值满足方程 =(-1) (+3)-(-)(-2)= 2+2-8=0 解得，矩阵M的两个特征值1=-4，2=2。 （5）一实验室培养两种菌，令和分别代表两种培养菌在时间点n的数量，彼此有如下的关系，若二阶矩阵A=满足A，（其中n=0,1,2…），则 ， ， ， 。 答案：8，24，0，8。解析：， 故得。 例2：根据下列条件试判断M 是否与 共线 ⑴M= ， 非零向量 = ⑵ M= ， = 答案：⑴ M= ==3 所以M与共线。 ⑵ M= = 而与不共线。 即此时M与不共线。 例3：求矩阵M= 的特征值和特征向量 答案：矩阵M的特征值满足方程 =(+1) (-3)-(-)(-2)= 2-2-8=0 解得，矩阵M的两个特征值1=4，2=-2 ⑴设属于特征值1=4的特征向量为，则它满足方程： (1+1)x+(-2)y=0 即：（4+1）x+(-2)y=0 也就是 5 x-2y=0 则可取为属于特征值1=4的一个特征向量 ⑵设属于特征值1=-2的特征向量为，则它满足方程： (2+1)x+(-2)y=0 即：（-2+1）x+(-2)y=0 也就是 x+2y=0 则可取为属于特征值2=-2的一个特征向量 综上所述：M= 有两个特征值1=4，2=-2， 属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。 例4：已知：矩阵M= ，向量 = 求M3 答案：由上题可知1 = ， 2 =是矩阵M分别对应特征值1=4，2=-2的两个特征向量，而1 与2 不共线。又 ==3+=31+2 ∴M3= M3（31+2）=3 M31+ M32 =3131+232=3×43+（-2）3× = 192×-8×==。 【】的特征值是 （ ） A、0和5 B、0和—5 C、1和4 D、—1和—4 答案：A。解析：由已知，解得。 3．下图为一个网络，则一级路矩阵为 （ ） A、 B、 C、 D、 答案：A。 4．矩阵A=的特征多次式为 。 答案：。解析：。 5．设A是一个二阶矩阵，满足A，且A，则A= 。 答案：。解析：设A=， 则。 6．矩阵M=的所有特征向量为 。 答案：k和k。解析：已知 ∴，对应的特征向量为和，故所有的特征向量为：k和k。 7．已知点列满足，且，则P4坐标为 。 答案：（—2，—6）。 解析： 即，故，又， ∴，即P4（—2，—6）。 8．求矩阵A=的特征值与特征向量。 答案：矩阵A的特征多项式或—1，其相应的特征向量分别为和。 9．已知⊿ABC的坐标分别为A（1，1）、B（3，2 ）、C（2，4 ），①写出直线AB的向量方程及其坐标形式。②并求出BC边上的高。 答案：①AB的平行向量为：V0==，设M为直线AB上的任意一点，故： 所求向量方程为：OM = OA + t? V0 ( tR ) 其坐标形式分别为：=+ t ( tR ) ②由 ①，直线AB的坐标形式方程可化为： 消去t后得普通方程为：x-2y+1=0 所以所求高为C到直线AB的距离，设为h,则：h= =?。 10．假设某地只有甲乙两家工厂生产并贩卖某一种产品每一年甲工厂的顾客中有转向乙工厂购买此产品，只有仍然向甲工厂购买；而乙工厂的顾客中有转向甲工厂购买，其余的顾客仍然向乙工厂购买，请问一年、二年、三年后，甲乙两家工厂的市场占有率为何？ 答案：设甲乙两工厂目前市场占有率为，其中年后甲乙两工厂市