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矩阵分解在数值计算中的应用 【摘要】矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具．在广义逆矩阵问题和统计学方面都有重要应用。 关键词 ： 矩阵分解 对角化 逆矩阵 范数 条件数 引言 矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展.莱布尼兹,微积分学的两个奠基者之一,在1693年使用了行列式,克莱姆于1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式(即今天著名的克莱姆法则).相对比地,行列式的隐含使用最早出现在18世纪晚期拉格郎日关于双线性型的著作里.拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值.他的方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵. 在1800年左右,高斯发现了高斯消去法,他用此方法解决了天体计算和后来大地测量(关于测量或确定地球形状或定位地球表面一个点的应用数学分支,称之为大地测量学)计算中的最小平方问题.尽管高斯的名字相伴随从线性方程组逐次逍去变量的这项技术,但从发现的早在几个世纪前的中文手稿中解释了如何用高斯的消去法解带有三个未知量的三个方程构成的线性方程组.多年来,高斯消去法被认为是大地测量学,而非数学,发展的一部分.首次印刷出来的高斯—约当消去法是在W. 约当写的关于大地测量学的手册里.许多人错误地认为著名数学家C.约当是高斯—约当消去法中的约当. 为了矩阵代数的丰富发展,人们既需要适当的概念,还需要适当的矩阵乘法.这两种需要在同一时间和同一地点交汇了.在1814年于英格兰,J.J.西勒维斯特首先引进了术语Matrix,作为一列数的名称,这是胚胎的拉丁词.矩阵代数于1855年由亚瑟 凯莱的工作得到了发展.凯莱研究了线性变换的合成,导致定义了矩阵乘法,使得合成变换ST的系数矩阵是S的矩阵与T的矩阵的乘积.他继续研究这些合成包括矩阵逆的代数.著名的凯莱—哈密尔顿定理断言,一个方阵是它的特征多项式的根.这个定理于1858年在凯莱的关于矩阵理论备忘录的著作里给出.代表矩阵的单个字母A的使用对于矩阵代数的发展是关键的.早期的公式det(AB)=det(A)det(B)提供了矩阵代数与行列式的联系.凯莱写下了有许多事情说明关于矩阵的理论,似乎对我而言,比行列式理论重要. 数学家们也试图发展向量代数,但没有任意维数的两个向量积的自然定义.涉及到非交换向量积(亦即VW×不一定等于WV×)的第一个向量代数由赫尔曼 格拉斯曼在他的书维数理论(1844)提出来的.格拉斯曼的书也引进了一个列矩阵与一个行矩阵的乘积,导致了今天所谓的单纯的或秩1的矩阵.在19世纪晚期,美国数学物理学家W.吉布斯发表了关于向量分析的著名论文.在那篇论文里,吉布斯把一般的矩阵,他称之为并向量(dyadics),表示为单纯矩阵(吉布斯称为并向量(dyads))的和.后来物理学P.A.M.迪拉克引进了术语行-列(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语列-行(ket-bra)表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上面的我们现在称做的单纯矩阵.我们现在把列矩阵和向量视为同一的习惯是由物理学家们在20世纪引进的. 是可逆的， （1-1） 设矩阵的第一列中至少有一个是非零元素（否则就是奇异矩阵）不妨设为若一般的记初等矩阵 （1-2） 根据矩阵理论的知识我们知道矩阵左乘矩阵，作用就是对换的第和第行，右乘的作用是对换第和第列。因此通过取，则矩阵中的。用第一行与其他行的线性组合可以将第一列对角线以下部分全部变为0。这一过程写成矩阵形式即 （1-3） 其中 （1-4） 这里，注意到 （1-5） 并且该矩阵仍然是可逆矩阵。所以中至少有一个不为0，设。 同理取，令如此逐步消元可得到 （1-6） 若再假设，取对换行，即可得该矩阵的形状为 （1-7） 在（1-6）中，这里，如果记则 （1-8） 很显然对任意的看，都有 ， 所以他们都是非奇异的矩阵，而且他们的逆矩阵分别是