差分方程建模示例1：人口增长模型.pptVIP

* * 差分方程建模示例1:人口增长模型 ● Malthus 模型 设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人口数成正比,从而 xn+1＝ xn ＋r xn 即 xn+1 = a xn 其中 a=r+1. 这是一个如下线性映射的迭代 f (x) = a x 从而 xn= a xn－1= a2xn－2 =…= an x0 Malthus的结论：人口增长呈几何级数 约35年增加一倍，与1700－1961年世界人口统计结果一致 与近年统计结果有误差，由a 1,xn趋向无穷，模型在人口长期预测方面必定是失效的. . ● Logistic模型 生存资源是重要的因素，修改的模型为： xn+1 － xn= r xn－ b xn2 其中－ b xn2为竞争或约束项，r、b 称生命系数 记a=r+1，那么 xn+1= a xn- bxn2 数据观察 (迭代计算与国家统计局发表数字比较) 基本接近 存在极限值 这是一个如下非线性映射的迭代 f(x)=ax-bx2 四．问题的讨论和分析 ● Logistic映射 通过变量代换简化为logistic 映射 f(x)=a x(1- x)， x在[0,1]内变化 相应的迭代为 xn+1=a xn(1-xn) 从[0,1]内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成了一个序列，即 xn=f n(x0), n = 0,1,2,… 序列{xn}称为x0的轨道 ● 数值迭代 1．倍周期分叉现象 ■ 当0a 1时，由于0xnaxn+1 xn →0 物种逐渐灭亡 ■ 当1a3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于 x*=1-1/a 其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点(周期1点)例：a=1.5时 xn → 1/3. 两个不动点x1*, x2* ,一个稳定(吸引),另一个不稳定，轨道{xn}趋向稳定点 这两个数满足 ■ 当3a1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动, 例a =3.2 x2k-1 →0.799455 x2k →o.513045 ■ 当1+61/2a3.5440903506…时, 从任意的点x0出 发的轨道将逐渐沿着四个数值振动 例a=3.45 x4k → 0 x4k+1 → 0 x4k+2 → 0 x4k+3 → 0也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期点失稳) 这四个数满足 称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点又失稳) 若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依次出现周期16点，周期32点…. ，(请考虑什么是周期n) 这种过程称为倍周期分叉.相应的分叉值c1=3, c2=1+61/2…构成一个单调增加的数列{ck}.其极限值为c*=3.569945557391…。 分叉值如何求? 任务：求分叉值和画分叉图 依赖于数值方法 2．浑沌与遍历性 当c*a4时，Logistic映射进入浑沌区域.反映出的是： ■ 遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期轨道, 它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何一个子区间(a,b)内都会出现无数次.这是浑沌的 ■ 敏感性： 轨道表现出对初始条件的强烈敏感性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的轨道也终将以某种方式分离. ■ 存在周期小窗口 浑沌区域内某些地方仍有倍周期分叉，例如a＝3.835附近 ■ Feigenbaum常数 比值(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k 趋于无穷时，趋于常数