第二节 开集与闭集.pptVIP

第二节 开集与闭集 ⒋开集、闭集 例：开区间(a,b)为开集 例：闭区间[a,b]为闭集 注：闭集为对极限运算封闭的点集 即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点 Eo为开集 E`为闭集 E`为闭集 ⑵开集与闭集的对偶性 开集的余集是闭集 闭集的余集是开集 ⑶开集的性质 a. 空集，Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。 ⑷闭集的性质 a.空集，Rn为闭集； b.任意多个闭集之交仍为闭集； c.有限个闭集之并仍为闭集。 ⒌直线上的开集构造 定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并。 开集的构造 6.R中有关紧性的两个结论 ⑴Bolzano-Weierstrass定理： 若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点. ⑵ Heine-Borel有限覆盖定理 设F为有界闭集，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在有限个开集U1 ，U2， … ,Un，它同样覆盖F 可数覆盖定理 设F为Rn中一 集合，若开集簇 覆盖F（ 即 ）， 则 中存在可数个开集U1 ，U2， … ,Un ，… ，它同样覆盖F 例：设F为R1中的有界闭集，G为开集且则存在δ0，使得当|x| δ时 ，有 证明：对任意的y∈F，由于y∈G ， * * 第二章 点集 主讲：胡努春 P0为 E的接触点： P0为 E的聚点： P0为 E的内点： 说明：要证E是开集，只要证 要证E是闭集，只要证 若Eo = E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外） 说明：要证E是开集，只要证 a b x 证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x是（a,b）的内点， 故(a,b)是开集。 说明： 要证E是闭集，只要证 a b x 证明：任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x不是[a,b]的接触点， 从而[a,b]的接触点都在[a,b]内， 从而[a,b]是闭集。 利用： p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得 或 p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn}, 使得 若 （或 ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外） 注： Eo为含于E内的最大开集 E 从而y为E的内点，从而 所以x为Eo的内点，即 证明：只要证 任取　 ，由内点的定义知 任取 ，取 E 证明：只要证 任取 ，由聚点的定义知 注： 为包含E的最小闭集 E 从而 即x为E的聚点，从而 P0为 E的接触点： P0为 E的聚点： P0为 E的内点： P0为 E的外点： b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。 a. P0为 E的接触点： P0为 E的内点： 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。 证明：设E为开集，即 从而 P0为 E的接触点： P0为 E的内点： 证明：设E为闭集，即 任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内， 这与　 矛盾， 所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。 注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n), Rn中只有空集和Rn既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如：E=[0,1) A B 注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n] 若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集 ( ) ( )( ) ( ) ( ⑴直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或 可数个互不相交的开区间所得之集. ⑵直线上的闭集的孤立点必是其余区间的