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北京大峪中学高三数学组石玉海 * 导数的概念 第三章 导 数 一 导 数 3.1 导数的概念 (1) 1. 曲线的切线 )a T )a T 求曲线y=f(x)在点P(x0, y0)处的切线的斜率。 设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点 P(x0,y0)及邻近的一点Q(x0 +?x, y0+?y)，过P、Q两点作割线，并分别过P,Q两点作x轴与y轴的平行线MP，MQ， 又设割线PQ的倾斜角为β 。那么 f(x0+?x) x0+?x Q x0 P y=f(x) O x y f(x0) β ) ) Q ) Q M f(x0+?x) x0+?x Q x0 P y=f(x) O x y f(x0) j ) )a T 当?x?0时，动点Q将沿曲线趋向于定点P，从而割线PQ也将随之变动而趋向于切线PT。 此时割线PQ的斜率趋向于切线PT的斜率： 设切线PT的倾斜角为α，那么当△x→0时，割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即 切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 例如，曲线的方程为y=x2+1 那么此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率 设物体作直线运动所经过的路程为s=s(t)。 以t0为起始时刻，物体在?t时间内的平均速度为 就是物体在t0时刻的瞬时速度，即 `v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， ? t 越小， 近似的程度就越好。 所以当?t?0时，极限 2. 瞬时速度 3.导数的概念 由定义求导数（三步法） 步骤: 例1.求y=x2在点x=1处的导数 解： 函数在一区间上的导数： 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数f’(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作 即 f ?(x0)与f ?(x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值 如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续. 注意: 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. 播放 例2 .已知 解: 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 北京大峪中学高三数学组石玉海 * 导数的概念