目录（集合论）.pptVIP

常用的集合 N代表自然数集, {0,1,2,…} I 代表整数集, {…, -2, -1, 0, 1, 2,…} Q代表有理数集 R代表实数集 R+={x│x∈R, x0}是表示非负的实数集 R2={(x,y) │x,y ∈ R}是XOY坐标平面上点的集合。 理发师这个拗口的规定，对于除他自己以外的别人，并没有什么难理解的地方。但是回到他自己这里，问题就麻烦了。如果这个理发师不给自己刮胡子，那么按照规定，他就应该给自己刮胡子；可是他给自己刮胡子的话，按照规定他又不应该给自己刮胡子。因此，这位理发师无论是否给自己刮脸，都不符合自己的那条规定。这真是令人哭笑不得的结果。 罗素生於1872年5月18日，卒於1970年2月2日，是著名的英国数学家、逻辑学家。1890年入剑挢大学三一学院学习数学和哲学。1895年以论文《论几何学基础》获得剑挢大学研究员资格。1901年开始与怀特海(Whitehead)合作，经过10年的奋战，写成3卷本巨著《数学原理》。罗素长期以来坚持把全部数学归结为逻辑的主张。但事实上，罗素并没有实现他的主张。因为他在从逻辑推导数学的过程中使用了两条非逻辑公理 选择公理和无穷公理。他到晚年承认逻辑主义是不可行的。 罗素还是2l世纪最有影响的哲学家之一，其学术活动除数学外，还涉及物理学、历史、文学、宗教、政治和教育等多方面。1920年应邀来中国讲学一年。1950年获诺贝尔文学奖。1964年创设罗素和平基金会。 罗素悖论起因于不受限制的定义集合的方法，为了消除这个隐患， * 自从康托尔创立了数学领域中的“集合论”，用集合论中的观点来诠释各个数学概念之间的逻辑关系，真可谓是“天衣无缝”。因此集合论被誉为“数学大厦的基石”。然而“罗素悖论”的发现，证明了集合论中竟然存在自相矛盾的悖论，这足以暴露集合论本身的缺陷。 克罗内克(L.Kronecker)曾经说过:“自然数是上帝创造的,其余的一切是人的工作”， 在我们所研究的集合论（古典集合论）中， 对任何对象a和任何集合A， 或者a∈A或者aA, 两者必居其一且仅居其一。 这正是集合对其元素的“确定性”要求。 随着科学的发展， 由控制论的研究所引起的当代数学的一个新领域——模糊集合论， 所研究的不清晰的对象构成的集合， 不在我们讨论的范围内。 在我们所研究的集合论（古典集合论）中， 对任何对象a和任何集合A， 或者a∈A或者aA, 两者必居其一且仅居其一。 这正是集合对其元素的“确定性”要求。 随着科学的发展， 由控制论的研究所引起的当代数学的一个新领域——模糊集合论， 所研究的不清晰的对象构成的集合， 不在我们讨论的范围内。 目录（集合论） 第六章 集合（4学时） 第七章 关系（7学时） 第八章 函数与集合的势（5学时） 康托集合论——公理集合论 德国数学家康托 (G. Cantor) 朴素集合论: 十九世纪七十年代 悖论 公理集合论: 在二十世纪初 数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现。 可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。 康托 Georg Cantor，1845－1918 1845年3月3日生于彼得堡。 1856年全家迁居法兰克福。 先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习哲学、数学和物理。 在柏林大学，他受到著名分析学家魏尔斯特拉斯的影响，对纯粹数学产生了兴趣。1867年，他以求不定方程ax2+by2+cz2= 0的整数解（其中，a、b、c为任意整数）的博士论文获哲学博士学位。 理发师难题 西班牙的塞维利亚有一个理发师，这位理发师有一条极为特殊的规定：他只给那些“不给自己刮胡子”的人刮胡子。 罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872-1970） 著名的英国数学家、逻辑学家。 1890年剑挢大学学习数学和哲学。 1901年开始与怀特海(Whitehead)合作，经过10年的奋战，写成3卷本巨著《数学原理》。 罗素还是2l世纪最有影响的哲学家之一。 1920年应邀来中国讲学一年。1950年获诺贝尔文学奖。1964年创设罗素和平基金会。 ZF公理系统 数学家们创造了公理化集合论，明确提出形成集合的原则，且规定只能按照这些确定的原则形成集合，以避免已知的一些集合论的悖论。 最著名的一个系统是由蔡梅罗 1908年提出，后经弗兰克尔 (Abraham A. Fraenkel) 等人改进而建立的。人们称之为ZF系统。 罗素悖论与第三次数学危机 “数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数学殿堂”，会不会倒塌呢？一时间，数学界众说纷纭，这就是数学史上著名的“第三次数学危机”。 “裱糊匠”: 希尔伯