第十一章 复变函数.pptVIP

第十一章 复变函数 第一节 、 复平面 第二节、复变函数 第三节、解析函数 第一节、复平面 一、复数的概念 二、复数的各种表示、模与辐角 三、复平面上的点集与区域 一、复数的概念 定义；设 x,y为两个任意实数，称形如x+yi 的数为复数，记为 z= x+yi ，其中 i 满足i2 =-1，i称为虚数单位.实数x 和 y分别称为复数z 的实部和虚部，记为x=Rez,y=Imz. 各数集之间的关系可表示为 复数的代数运算 设复数 , 定义 z1 与 z2 的四则运算如下： 加法： 减法： 乘法： 除法： 复数四则运算规律： （1）加法交换律: (2）乘法交换律 （3）加法结合律 （4）乘法结合律 （5）乘法对于加法的分配律 复数运算的其它结果： （1） （2） （3）若 ，则 Z1与 Z2至少有一个为零，反之亦然. 共轭复数的运算性质： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 为实数 例1 化简 二、复数的各种表示、模与辐角 1.复数的几何表示 由复数z=x+iy 的定义可知，复数是由一对有序实数(x,y) 惟一确定的，于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为x ，纵坐标为y的点 表示复数 （如图），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点 P 与数 看作同义词. 2.复数的向量表示复数 还可以用起点为原点，终点为P(x,y) 的向量  来表示（如图）， x 与 y 分别是实部和虚部分. 3.复数的模与辐角 复数的模 Z≠0对应的向量 的长（如图）, 与实轴正方向所夹的角 ，称为复数 Z的辐角,记作argz ，即 θ=argz+2kπ , k为整数 并规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负. 4.复数的的三种表示式. 复数的表示式 称为复数 的三角表示式. 复数的表示式 称为复数 的指数表示式 复数的表示式 称为复数 的代数表示式 三、复平面上的点集与区域 扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面. 邻域 平面上以 z0为心 ，δ0为半径的圆： 内部所有点z0 的集合称为点z0的 δ—邻域，记为 N(z0,δ) . 称集合 (z0 - δ , z0 + δ) 为 z0 的去心 δ —邻域 记作 开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内点，则称 D 为开集. 闭集　如果点集D的余集为开集，则称 D为闭集. 连通集 设是D开集，如果对D 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属D则称开集是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或开区域. 闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为 . 第二节、复变函数 一、复变函数的概念 一、复变函数的概念： 定义1 设 D为给定的平面点集，若对于D 中每一个复数z=x+iy ，按着某一确定的法则f ，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 f是定义在D上的复变函数（复变数 是复变数Z的函数），简称复变函数，记作 =f(z) 其中 Z称为自变量, 称为因变量，点集 D 称为函数的定义域. 例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数. 解 设 第三节、解析函数 一、复变函数的导数 二、解析函数的定义 三、柯西—黎曼条件 一、复变函数的导数 1.导数的定义 定义1 设函数f(z) 在包含 z0 的某区域 D内有定义，当变量z 在点z0 处取得增量 时，相应地，函数 ω取得增量 若极限（ ） 存在，则称f(z) 在点 z处可导， 此极限值称为f(z) 在点 z处的导数，记 或 ，即 二、解析函数的定义 定义3 如果函数 f(z)不仅在点 z0处可导，而且在点z0 的某邻域内的每一点都可导，则称 f(z) 在点z0 处解析，并称点z0 是函数的解析点；如果函数 f(z) 在区域D内每一点都解析，则称 f(z) 在区域 D内解析或称 为区域D 内的解析函数，区域 D 称为 的解析区域. 如果 f(z) 在点z0 处不解析，但在z0 的任一邻域内总有 z0 的解析点,则称 z0