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* * 例5：非齐次线性方程组 当 取何值时有解？并求出它的解 . 解:对增广矩阵B=(A b)施行初等行变换 所以当 =0，即 方程组有解 方程组的解为 所以方程组的解为 例6：设 解：因为系数行列式 问 取何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解 由Cramer法则可知，系数行列式不为零时，方程组有唯一解.所以,当 时方程组有唯一解. 可知系数矩阵A与增广矩阵B的秩不等,所以方程组无解; 由此可知系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等1,所以方程组解且有无穷多. 同解方程组为 求X使XA=B. 解: 若A可逆,则由(1)可得 由(2)可得 利用初等行变换求逆矩阵的方法,还可求 例7: 求 X 使 AX=B； 可知, 若对矩阵 施行初等行变换, 对矩阵 施行初等列变换,当 把 A 变为 E 时, B 就变为 而 例8：设A、B为n阶方阵，证明 证：设 而C1等于在C中去掉 n-r1行，n-r2列后得到的矩阵，又因为在矩阵中去掉一行（列）矩阵的秩最多减少1，所以 例9：设A为 n 阶方阵，证明存在 n 阶非零方阵B，使AB=0的充要条件为 . 证:必要性:由存在 n 阶非零方阵B,使AB=0,可知B的列向量一定存在非零列向量,即齐次线性方 程组AX=0存在非零解 充分性: 所以方程组AX=0有非零解, 由 n 个含非零的解向量为列够成矩阵B,使AB=0. 证毕. * *
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