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迭代法随想 张 然 吉林大学数学学院 老夫聊发少年狂， 重操锅盏扮厨娘。 未知饮品难调味， 不烹虾蟹只烧汤。 蔡大用 2007.07.25 知其然知其所以然； 授之鱼不如授之以渔； know-how no better than “know-why” 教学相长 迭代法及其应用 两个简单例子 两个简单例子 例1 已知 两个简单例子 例2 已知方程 方程 （非线性方程、超越方程） 方程组 算子方程（微分方程） （1） 根的隔离。 （2） 近似根的精确化 function x=nabisect(fname,a,b,e) %用途: 二分法解非线性方程 f(x)=0 %格式: x=nabisect(fname,a,b,e) fname 为用函数句柄或内嵌函数表达的 % f(x),a,b为区间端点,e为精度(默认值为10^{-4}),x为返回解,程序要求函数在 % 两端点值必须异号,中间变量fa,fb,fx引入可以最大限度减少fname调用次数,从而提高速度 if nargin4, e=1e-4;end; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b); if fa*fb0,error(函数在两端点值必须异号);end x=(a+b)/2 while (b-a)(2*e), fx=feval(fname,x); if fa*fx0,b=x;fb=fx;else a=x;fa=fx;end x=(a+b)/2 end function x=nanewton(fname,dfname,x0,e,N) %用途: Newton迭代法解非线性方程 f(x)=0 %格式: x=nanewton(fname,dfname,x0,e,N) fname 和dfname分别表示f(x)及其导函数的 M % 函数句柄或内嵌函数,x0为迭代初值,e为精度要求(默认值为10^{-4}),x为返回解, % 并显示计算过程设置迭代次数上限N以防发散(默认500) if nargin5,N=500;end if nargin4,e=1e-4;end x=x0;x0=x+2*3;k=0; while abs(x0-x)3kN, k=k+1; x0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0); disp(x) end if k==N,warning(已达迭代次数上限);end Newton法的推广 迭代法的收敛阶 三阶迭代法 * * 计算数学 理论 实际应用 计算机 根据计算机的特点设计可行的算法； 数值计算方法 理论依据：误差分析，收敛性分析，数值稳定性分析 给出算法的程序实现： C, C++, Forturne, Matlab, Maple, MathCAD, Mathematica等 没必要专门开数学软件的课 迭代法理论 非线性方程求解 Newton迭代法 高阶迭代法 迭代法应用 ，任取 ，则由 在 附近有根. 假定我们已会计算 那么我们就能从 开始，通过迭代公式 逐步得到所要求的根. 迭代法可用于处理 非线性方程求根 求方程的近似根，一般需要解决这样两个问题 二分法 且 优点：简单可靠，易于在计算机上实现，对 f(x) 要求不高，只需连续 缺点：用于计算精度要求较高的近似根时， 所费时较长，且使用范围有局限，不 能用于求复根或偶数根。 二分法Matlab程序 先将方程 简单迭代法 转化为等价方程 然后从某个数 出发,通过计算 构造序列 。如果 连续且这个序列收敛于 ,则由上式立即可得 问题 简单迭代法 如何选取迭代函数 ,使迭代过程 收敛？ 定理1（收敛充分条件） 若 满足 （1）[a,