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* 福州十八中 郑莹 A B C D A B C D 平 移 腰 平移腰可将梯形的两腰、两底角放置在一个三角形. E E F G A B C D E O 平 移 对 角 线 1、当AC⊥BD时，ΔBED是什么三角形？ 2、当AC =BD时，ΔBED又是什么三角形？ 3、哪个命题的证明应用了此法？ 对角线相等的梯形是等腰梯形 4 、 ΔBED与梯形ABCD的面积关系如何? ΔBED是直角三角形 ΔBED是等腰三角形 相等 作 高 A B C D E F A B C D 延长两腰使其交于一点 1、 若梯形ABCD是等腰梯形时，ΔOBC是什么三角形？ 2、梯形满足什么条件时， ΔOBC是直角三角形？ O ΔOBC是等腰三角形 梯形为直角梯形或同一底边上的两底 角和为90° 旋转上底 A B C D O E 梯形ABCD面积与哪个图形面积相等? △ABE F 若F为AB中点，OF与AD、CB之间有什么关系？ OF∥AD∥BC,2OF=AD+CB 解决梯形问题的常用辅助线方法： 1.平移腰 3.做高 4.延长两腰 2.平移对角线 5.旋转上底 添加辅助线的目的：将梯形分割成平行四边形和三角形，从而利用平行四边形和三角形的性质，求解梯形问题。 例题： 1、如图,梯形ABCD 中, AB∥CD， ∠D=70 ° ， ∠ C=40 ° AB=4cm,CD=11cm,求BC. A B C D 解：（平移腰） 过B作BE∥AD交DC于E 则∠ 1= ∠ D=70°, ∵AB ∥ DE,AD ∥ EB ∴ 四边形ABED为平行四边形 ∴ DE=AB=4 ∵△BCE中， ∠ C=40°∠1=70° ∴ ∠ 2= ∠1= 70 ° ∴CB=CE=CD─DE=11—4=7(cm) ）1 2 E 4 40° 70° 7 11 分析: ∠D =70 °, ∠ C=40°在一个三角形中结果会如何? 如何才能在一个三角形中? 4 解法2：（延长两腰） A B C D O 70° 40 ° 4 11 70° 7 延长DA与CB交于O ∵AB∥CD ∴ ∠ OAB=∠ D=70 ° ∵∠C=40°，∠ D=70 ° ∴ ∠O=70 ° ∴ ∠ OAB= ∠O=∠ D=70 ° ∴ OB=AB= 4，OC=CD=11 ∴ BC=7 4 11 E A B C D 例2：已知，直角梯形ABCD中，∠B=∠A=90°，AD∥BC，E是腰AB的中点，AD=1, AB=BC=4，CD=AD+BC.求证： DE ⊥CE 。 分析:利用勾股定理 证明：（一）在Rt△ADE中， ∠A=90°,AD=1,AE=2 在Rt△BCE中， ∠B=90°,AD=2,BC=4 ∵ CD=5, ∴ 在△DCE中， ∴ △DCE为直角三角形 ∴ DE ⊥CE 例2：已知，直角梯:形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，AD=1, AB=BC=4，CD=AD+BC.求证： DE ⊥CE 。 F 证明：（二）延长DE交CB延长线于F ∴ ΔADE≌ΔBFE ∴ DE=FE，AD=BF ∴ DE ⊥CE ∴ CD=AD+BC=BF+BC=CF ∵AD∥CF ∴ ∠A= ∠ ABF, ∠ ADE= ∠ F ∵ AE=BE, 分析:1、AD+BC 怎样用一条线段表示? 2、AD+BC跟哪条线段有关？ E A B C D 练习：一、填空 1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC， AC⊥BD且AC=8cm，BD=15cm，则梯形的高 = cm. A B C D E F 先用勾股定理求出BE，再用面积法求高DF。答案：120/17（cm) 2、梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B=54 °，∠C=36°， AD=10 AB=12 ，CD=16 则BC= 。 A B C D E )1 16 10 12 平移腰后， 在RtΔBDE中计算出CE=20，则BC=CE+BE=30（cm） 20 15 8 17 54o 36o 3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ADCB，E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC,试说明∠B=∠C A B C D E F M N 分析：要证∠B=∠C，可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质解决这个问题 证明：过E作EM∥AB，EN∥CD，分别交BC于M、N,得到平行四边形ABME和平行四边形NCDE。 ∴AE=MB,AB=EM,AB∥EM，ED=CN，CD=NE，CD∥EN ∵∠1=∠B，∠2=∠C ∵AE=ED，∴BM=CN 又∵BF=CF，