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* * 4) 若A可逆，则 也可逆， 证明： 所以 注1：当 |A| ≠ 0 时，k为正 整数，λ，μ为整数，有 A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵， A为不可逆矩阵，也称为奇异矩阵. 4 ) ( Aλ ) μ = Aλμ 四. 逆矩阵的应用 例1. 解矩阵方程 解：设 则上式变成: AXB = C 例2. 设 求（ E + B ）－1 解: 由 即 ( E + A )( E + B ) = 2E 例3. 设 A，B 均为 n 阶方矩 阵， 若 E－AB 可逆，则 E－BA 也可 逆，并求: 证明：A－ABA = A－ABA ( E－AB ) A= A( E－BA ) 所以 又因为 E = E－ BA + BA 所以 E－BA 可逆,且 = [E －B ( E －AB )-1A] ( E － BA ) 五、几个常用的公式 1) AA* = A*A = |A|E 2) A* = |A|A-1 3) |A-1| = |A|-1 |λA| = λn|A| 5) (λA)-1 = λ-1A-1 例4 若 |A| ≠ 0, 试证（1） |A*| =|A|n-1;（2）(A*)-1= (A-1)* (3) (A*)T = (AT )*;（4）(A*)* = |A|n-2A;（5）(kA)* = kn-1A*。 证 （1） |A*| = (2) (A*)-1= (3) (A*)T = ||A|A-1| = |A|n|A-1| = |A|n-1; (|A|A-1)-1 = |A-1|(A-1)-1 = (A-1)*; ( |A|A-1)T = |AT|(A-1)T = |AT|(AT)-1 = (AT )* (A*)* = |A*|(A*)-1 = |A|n-1(|A|A-1)-1 = |A|n-2A (5) (kA)* = |kA|(kA)-1 = kn|A|k-1A-1 = kn-1|A|A-1 = kn-1A* *