- 1、本文档共9页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
不等式问题的思路、方法、技巧
不等式是中学数学的重要内容,它与代数其它内容密切相关,与立体几何、解析几何的联系也比较多,不等式的知识还可以用以解决实际生活和生产中的问题。数学高考中考查的关于不等式的内容主要有不等式的性质、不等式的证明、解不等式和不等式的应用。小题属于中低档题,大题属于中档以上的题。所占比例约为10﹪—15﹪。
在以上四部分内容中,不等式的证明和不等式的解法是两种最基本的题型,所以要首先掌握好。
不等式问题的灵魂是等价变形,亦即要求在变形前后字母的取值范围不变。在解不等式的时候是这样,证明不等式时也是这样。有时,不等价的变形难以避免,在使用了这些变形之后就要采取必要的补救措施,讨论字母的范围,找回遗失的,去掉多余的。
证明不等式的基本方法
比较法
(1)差比较法:欲证A>B,只要证明A-B>0. 具体步骤为:①作差,②变形,③判断符号。这种方法常用来证明比较简单的不等式,其依据为不等式的意义:A>BA-B>0.
例1.已知a,b∈R,求证a2+b2≥2(2a-b)-5.
证明:∵(a2+b2)-[2(2a-b)-5]= a2+b2-4a+2b+5
= a2-4a +4+b2+2b+1=(a-2)2 +(b+1)2≥0.
∴命题成立.(当且仅当a = 2,b= -1时等号成立)
本题在变形时用配方法解决了问题。凡与二次多项式有关的变形,都可以考虑用配方法。
(2)商比较法:欲证A>B,若已知B∈R+,则只须证明,其依据是不等式的乘法单调性:A>B,C>0AC>BC,这里取C=.
例2. 已知a,b∈R+,a≠b,求证aabb >abba.
证明:∵a,b∈R+,∴aabb ,abba∈R+,∴,
当时,由指数函数性质,;
当时, 同理,有 .
综上,命题成立.
本题的解答有两个要点:一是首先要判断符号,否则不能用商比较法,二是变形后根据指数函数的性质要分情况讨论。
例3.求证:2x4+1≥x2(2x+1).
证明:∵(2x4+1)- x2(2x+1)=2x4+1-2x3-x2=2x3(x-1)-(x2 –1)=(x-1)[2x3 –x-1]
=(x-1)[2x3 –2x+x-1]= (x-1)[2x(x2–1)+(x-1)] =(x-1)2(2x2 +2x+1)=(x-1)2[x2 +(x+1)2]≥0.
∴命题成立。
配方法和分解因式是比较法变形中运用最多的技巧。上述变形中要将变形进行到最后,否则易犯说理不透的毛病。另外,最后一步的第二个因式也可以这样配方:
2x2 +2x+1=2x2 +2x+=2(x2+x+)+= 2(x+)2 +>0.
综合法
综合法是证明不等式的基本方法之一,其模式为:欲证AB,若已知AC1C2……B,则命题得证。综合法的优点是思路自然,容易接受;缺点是有时不易找到入口,因为不等式往往是以结论B的形式出现的,条件A常常比较隐蔽。当所证命题的结论B与已知的重要不等式联系密切时,就可以运用综合法,这时条件A即为前述已知的重要不等式。
常用的重要不等式有:
① a2≥0.(当且仅当a=0时等号成立).
② |a|≥0.(当且仅当a=0时等号成立).
③ a2+b2≥2ab.(当且仅当a=b时等号成立).
④ .(a,b∈R+ ,当且仅当a=b时等号成立).
⑤ a3+b3+c3≥3abc.(a,b,c∈R+ ,当且仅当a=b=c时等号成立).
⑥ .(a,b,c∈R+ ,当且仅当a=b=c时等号成立).
⑦ |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
要熟记这些公式,包括等号成立的条件和字母的取值范围;还要掌握这些公式的变形,善于运用等价转化的方法解决问题。下面是常见的变形公式:
① ,(a,b∈R+ ,当且仅当a=b时等号成立).
② ,(a,b,c∈R+ ,当且仅当a=b=c时等号成立).
a2+b2+c2≥ab+bc+ca,(a,b,c∈R ,当且仅当a = b = c时等号成立).
例4.已知a,b,c,d∈R+ ,求证(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
分析:由a,b,c,d∈R+和式子左端的结构,容易想到应该运用均值不等式④.
证明:∵a,b,c,d∈R+,∴,
上两式两端均为正数,由同乘原理,相乘即得:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
等号成立的条件为ab=cd且ac=bd.
同乘原理和同加原理是非等价的变形,所以上述推理不可逆推,这在综合法证题时是可以的,但解不等式时就要特别注意,否则会使字母的取值范围发生变化(扩大)。
例5. a,b,c∈R,求证a2 b2+b2 c2+c2 a2≥abc(a+b+c).
证明:由变形公式③,a2 b2+b2 c2+c2
您可能关注的文档
- 《校本课程纲要》撰写的一般模式.doc
- 班主任工作考核标准.doc
- 班主任工作相关的教育政策法规.doc
- 从文化视角解读教育功利价值取向的渊源.doc
- 大学生职业生涯的规划浅探.doc
- 对“美女”称呼语的语用解读.doc
- 对外经贸合同英语中的旧体词的浅议.doc
- 对诱思探究教学法的一点心得.doc
- 多元智能理论对校本课程开发的启示.doc
- 二级学院网络建设的规划与设计探析.doc
- 《GB/Z 44363-2024致热性 医疗器械热原试验的原理和方法》.pdf
- GB/T 16716.6-2024包装与环境 第6部分:有机循环.pdf
- 中国国家标准 GB/T 44376.1-2024微细气泡技术 水处理应用 第1 部分:亚甲基蓝脱色法评价臭氧微细气泡水发生系统.pdf
- 《GB/T 44376.1-2024微细气泡技术 水处理应用 第1 部分:亚甲基蓝脱色法评价臭氧微细气泡水发生系统》.pdf
- GB/T 44376.1-2024微细气泡技术 水处理应用 第1 部分:亚甲基蓝脱色法评价臭氧微细气泡水发生系统.pdf
- 中国国家标准 GB/T 44315-2024科技馆展品设计通用要求.pdf
- GB/T 44305.2-2024塑料 增塑聚氯乙烯(PVC-P)模塑和挤塑材料 第2部分:试样制备和性能测定.pdf
- 《GB/T 44315-2024科技馆展品设计通用要求》.pdf
- GB/T 44315-2024科技馆展品设计通用要求.pdf
- GB/T 39560.9-2024电子电气产品中某些物质的测定 第9 部分:气相色谱-质谱法(GC-MS)测定聚合物中的六溴环十二烷.pdf
文档评论(0)