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2011届高三数学附加题考前指导 一．矩阵变换 1. 二阶行矩的乘法:一般地，，= 2. 二阶行矩的乘法:一般地， =。,表示几何意义是什么？ 3.几种常见的平面变换及其矩阵(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）： (2) 伸压变换: (3) 反射变换： （4）旋转变换：（5）投影变换： （6）切变换： 4.逆矩阵常见的方法：ＡＢ＝ＢＡ＝E （1）用待定系数法求逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，ＡＢ＝ＢＡ＝E； （2）公式法：＝，记为：detA，有，当且仅当detA=0； （3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵； （4）(AB)－1＝B－1A－1 。 5利用逆矩阵解方程组 可以表示成=，简写成, 6.求特征向量和特征值的步骤： （1）=0；（2）解；（3）取或者，写出相应的向量； 7．如何求的步骤： （1）求，即M的特征值和特征向量； （2）用特征向量线性表示向量，即是常数，但一般不是； （3）代入=,因为，=，依此，=； 例1.求矩阵M= 的特征值和特征向量 解：M= 有两个特征值1=4，2=-2，属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。 例2. 例18. 已知M=，试计算 解： 二．参数方程、极坐标 1. 常见的曲线的极坐标方程 （1）直线过点M,倾斜角为常见的等量关系： 正弦定理，； （2）圆心P半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理 2.参数方程化为直角坐标：消去参数 （1）圆的参数方程： （2）椭圆的参数方程： （3）直线过点M,倾斜角为的参数方程：即， 即注：，根据锐角三角函数定义，T的几何意义是有向线段的数量； 3. 极坐标和直角坐标互化公式 或 ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定. （1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合. （2）将点变成直角坐标，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。 4．曲线的极坐标方程 (1)求曲线轨迹的方程步骤： （1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P；（3）写出等式；（4）根据几何意义用表示上述等式，并化简（注意：）；（5）验证。 注意：常见的技巧（1）直接法；（2）定义法；（3）坐标转移法（利用几何意义） (2)求轨迹方程的常用方法： ⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程 ⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 例1． 已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长． 解：直线l与曲线C相交所成的弦的弦长=． 例2. 已知圆的参数方程为 （为参数），若是圆与轴正半轴的交点，以圆心为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点的圆的切线的极坐标方程。 解：即为所求切线的极坐标方程． 三．用向量方法求空间角和距离 ⑴求异面直线所成的角：设、分别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所 成的角； ⑵求线面角：设是斜线方向向量,是平面法向量, 与直线则斜线的锐夹角为,，则斜线与平面成角为，或； 注意：得到的角是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角； ⑶求二面角(法一)在内,在内,其方向如图(略),则； (法二)设,是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角的平面角；注：不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别； （4)求点面距离：设是法向量,在内取一点,则到距离(即在方向上投影的绝对值) （5）坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz时，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°。 (1)让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指能指向z轴的正方向，则称为右手直角坐标系； (2) OQ=x、OR=y、PA=z分别叫做点A的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A（x,y,z）； (3) 平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知， 不共线，则为平面的法向量 例1. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且,是的中点． （1）求与所成的角余弦值；（2）求二面角的余弦值．解：（1）与所成的角余弦值为 .（2）. 四．排列、组合、二项式定理 1、排列数公式:, . 组合数公式：,. 组合数性质：；. 2、二项式定理： ⑴掌握二项展开式的通项：； ⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别. 例1．已知，