【精品】课件---第七章_哈密顿正则方程.ppt

第*页 §7.7 变量的分离 所以 则 质点的动能 质点的势能 则 由广义动量定义 得到: 则 第*页 §7.7 变量的分离 Hamilton函数 母函数设为 变换关系为 则 代入Hamilton函数 H 中 第*页 §7.7 变量的分离 由于Hamilton函数 H 中不显含时间 t ，在这种情况下存在能量积分，所以 即 * 由于H 函数中不显含时间 t，且 ? 为循环坐标，因此方程的解可设为: 由于h , β1 , β2 , β3 并不是独立的，因此可取 h=β1，式*可变为: 第*页 §7.7 变量的分离 则变量 r 及其偏导数可以从方程中分离出来，于是有: 此时，可设解的形式为 得 第*页 §7.7 变量的分离 可积分得 因此，该系统的Hamilton-Jacobi方程的全积分为: 第*页 §7.4 正则变换 由 可得 将 F 代入 得 所以 ，因此 f =常数。 故母函数 F 为 由条件 得 所以 第*页 §7.4 正则变换 例7-9 应用正则变换求解单自由度质点的线性谐振动 解：质点的质量为m，单自由度，取 q 为广义坐标，动能和势能为 则 系统为保守系统，故 取母函数 利用变换关系有 第*页 §7.4 正则变换 联立上式，可解得 因母函数不显含时间 t ，因此有 H=H* 将q , p 代入 H 函数 则 H*= P，由此可见，经过变换后的Hamilton 函数更简洁，且存在循环坐标 Q 。对应新变量的正则方程为 积分上式，得 第*页 §7.4 正则变换 则H* = P = E 即为系统的总机械能，系统的振动规律为 由上述求解过程可以看出，正则变换后的广义坐标 Q 和广义动量 P分别为时间 t 和总机械能，已不再具有原来的意义了。 第*页 §7.5 用Lagrange 括号和Poisson括号判别正则变换 用Lagrange括号判别正则变换 用poisson括号判别正则变换 第*页 §7.5 用Lagrange 括号和Poisson括号判别正则变换 用Lagrange括号判别正则变换 1．Lagrange括号定义 考虑如下变换方程 令( q? , pβ )为旧变量中的任意两个，定义Lagrange括号为 2．用Lagrange括号判定变换为正则变换 当母函数F如不含时间t 时，正则变换的充要条件为 第*页 §7.5 用Lagrange 括号和Poisson括号判别正则变换 用Lagrange括号判别正则变换 即变换若为正则变换，方程左边必构成某一函数的全微分。 因为 所以判别方程的左边 要使上式成为全微分的条件是必须同时满足以下三组恒等式 第*页 §7.5 用Lagrange 括号和Poisson括号判别正则变换 用Lagrange括号判别正则变换 展开其中的第一组，得 进一步简化上式，并注意到 第*页 §7.5 用Lagrange 括号和Poisson括号判别正则变换 用Lagrange括号判别正则变换 则有 上式可用Lagrange括号表示为 同理，第二组、第三组恒等式也可表示为 于是，可得如下结论： 1) 从一组旧变量q、p到另一组新变量Q、P的变换 第*页 §7.5 用Lagrange 括号和Poisson括号判别正则变换 用Lagrange括号判别正则变换 如果满足关系式 则该变换是正则变换。 2) 同理，考虑变换式 若该变换是正则变换，则应满足关系式 第*页 §7.5 用Lagrange 括号和Poisson括号判别正则变换 用poisson括号判别正则变换 泊松括号定义为 其中?、ψ是q1, q2, …, qk, p1, p2,…, pk, t 的函数，即 Lagrange括号定义为 通过上面两个定义比较可发现，将其中某一括号的各偏导数项上下交换位置，就可得到另一括号。而实际上两者之间确实存在一定的关系。 第*页 §7.5 用Lagrange 括号和Poisson括号判别正则变换 用poisson括号判别正则变换 设有2k个互为独立的任意变量，u1, u2, … , uk , uk+1, u k+2, … , u2k均为广义坐标q1, q2, … , qk和广义动量p1, p2, … , pk的函数，则存在关系式 证明：由Lagrange括号和poisson括号的定义，有