1 平面点集与多元函数.pptVIP

返回 后页 前页 §1 平面点集与多元函数 多元函数是一元函数的推广, 它保留着一元函数的许多性质, 同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质, 读者对这些新性质尤其要加以注意. 下面着重讨论二元函数, 由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去. 返回 一、平面点集 二、 R2 上的完备性定理 三、 二元函数 一、平 面 点 集 ※ 平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平 对 与平面上所有点之间建立起了一一对应. 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数 义域是坐标平面上的点集, 因此在讨论二元函数 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念. 面点集, 记作 例如： (2) (3) 图 16 – 1 (a) 圆 C (b) 矩形 S 图 16 – 2 (a) 圆邻域 (b) 方邻域 由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一 方邻域之内(反之亦然), 因此通常用“点 A 的 邻 用记号 或 来表示. 点 A 的空心邻域是指: 或 并用记号 来表示. 域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域, 并 注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出 ※ 点和点集之间的关系 以下三种关系之一 : 任意一点 与任意一个点集 之间必有 是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为 (i) 内点——若 则称点 A E 的内部, 记作 int E. 错在何处? ) (ii) 外点——若 则称 点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合 (iii) 界点—— 若 恒有 ( 其中 ), 则称点 A 是 E 的界点; 由 E 的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作 注 E 的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于 E; E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E. 并请注意: 称为 E 的外部. 只有当 时, E 的外部与 才是两个相同 的集合. 图 16 – 3 例1 设平面点集（见图 16 – 3） 于D; 满足 的一切点也 是 D 的内点; 满足 的一切点是 D 的界点, 它们都属 满足 的一切点都 是 D 的界点, 但它们都不属于 D. 点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近旁 是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 内都 含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点． 注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 内都含有 E 中的无穷多个点”. 注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记 作 又称 为 E 的闭包, 记作 例如, 对于例1 中的点集 D, 它的导集与闭包同为 其中满足 的那些聚点不属于D, 而其余 所有聚点都属于 D. (ii) 孤立点—— 若点 , 但不是 E 的聚点（即 有某δ 0, 使得 则称点 A 是 E 的孤立点. 注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必 为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点. 例2 设点集 显然, E 中所有点 ( p, q ) 全为 E 的孤立点; 并有 ※ 一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集. 开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集. E 为闭集. 例如前面列举的点集中, (2)式所示的 C 是开集; (3) 式所示的 S 是闭集; (4)式所示的 D 既非开集, 又 非闭集; 而(1)式所示的 R2 既是开集又是闭集. 在 平面点集中, 只有 R2 与 是既开又闭的. 开域——若非空开集 E 具有连通性, 即 E 中任意两 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接, 闭集——若 E 的所有聚点都属于 E 则 称 E 为闭集. 若 E 没有聚点 这时也称 则称 E 为开域. 简单地说, 开域就是非空连通开集. 闭域—— 开域连同其边界所成的