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* §6 二阶常系数非齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程 (1) 对应的齐次方程为 (2) 若齐次方程(2)的通解为: 又 是非齐次方程(1)的一个特解, 则 非齐次方程(1)的通解为: 常系数齐次线性方程(2)的通解我们已经会求, 因此, 为了求出常系数非齐次线性方程(1)的 通解, 只需再求出非齐次方程(1)的一个特解 . 下面介绍求常系数非齐次线性方程的通解的 一、当自由项 为下面两种类型的函数时, 可用待定系数法求出常系数非齐次线性方程 从而, 得到常系数非齐次线性 , 两种方法。 的特解 方程的通解。 1、 次多项式, 是 是常数。 可设方程(1)的特解: 其中 的取值如下: 当 不是特征根 当 是特征根且为单根 当 是特征根且为重根 是一个 次多项式, 其系数是待定的。 说明: 此结论可推广到 阶常系数线性方程 的情形。 这时, 将 取为特征方程含根 的重复次数。 例1 求 的一个特解。 解 这是常系数非齐次线性方程。 对应的齐次方程: 特征方程: 自由项 即 , 即 , 不是特征根 取 可设非齐次方程的特解 待定常数 代入非齐次方程,得 即 比较系数,得 解得 例2 求 的通解。 解 这是常系数非齐次线性方程。 对应的齐次方程: 特征方程: 自由项 即 , 即 , 是特征根 取 齐次方程的通解: (单根) 可设非齐次方程的特解 待定常数 代入非齐次方程,得 即 比较系数,得 解得 原方程的通解: 2、 是多项式, 是常数。 可设方程(1)的特解: 、 其中 , 、 是 两个 次多项式, 其系数是待定的。 的取值如下: 当 不是特征根 当 是特征根 说明: 此结论可推广到 阶常系数线性方程 的情形。 这时, 将 取为特征方程含根 的重复次数。 例3 求 的一个特解。 解 这是常系数非齐次线性方程。 对应的齐次方程: 特征方程: 即 , , , , 不是特征根 取 可设非齐次方程的特解 代入非齐次方程, 整理后,得 比较系数,得 解得 例4 写出 的特解 解 这是常系数非齐次线性方程。 对应的齐次方程: 特征方程: 即 , , , , 是特征根 取 的形式。 可设非齐次方程的特解 这里 为待定常数。 问题: 怎样求 的一个特解? 方法: 求出 的一个特解 求出 的一个特解 (1) (2) 则由叠加原理得: 就是 的特解。 二、当自由项 不是上述两种类型的函数时, 可用常数变易法来求出常系数非齐次线性 方程的通解。 二阶常系数非齐次线性方程 (1) 对应的齐次方程为 (2) 求出齐次方程(2)的通解为: 设 为非齐次 方程(1)的解, 这里 是待定函数. 两个未知函数只需满足一个关系式(1) 可规定它们再满足一个关系式 为了使 的表达式中不含 我们令 这样 代入非齐次方程(1),得 (3) 整理后,得 即 (4) 将(3)(4)联立,即 (3) (4) 在系数行列式 的条件下,解得 , 只表一个原函数 非齐次方程 的解为: [ ] [ ] 这就是非齐次方程(1)的通解。 例5 求 的通解。 解 这是常系数非齐次线性方程。 对应的齐次方程: 特征方程: 齐次线性方程的通解是: 设 为非齐次方程的解, 是待定函数. 则 解得 非齐次方程的解为: 这就是原方程的通解。 说明 常数变易法求出变系数二阶非齐次线性方程 上面,我们用常数变易法求出了常系数 非齐次线性方程的通解。 如果已知一个二阶变系数非齐次线性方程 对应的齐次方程的通解, 那么,也可用 的通解。 ( 参见教材 P329 例3 ) 课堂练习: 1、求微分方程 的一个特解. 2、求微分方程 的一个特解. 3、求微分方程 的通解. 4、求微分方程 的通解.
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