第十章 定积分的应用（二）.pptVIP

如何应用定积分解决问题 ? 一、平面曲线的弧长 定义：设平面曲线C由参数方程 （1） 给出。如果 与 在 上连续可微，且 与 不同时为零（即 ）， 则称C为一条光滑曲线。（当曲线上每一点都具有切线且切线随切点的移动而连续转动） 定理10.1 设曲线C由参数方程 (1) 给出。若C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例1. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例2. 求连续曲线段 例3. 计算摆线 例4. 求阿基米德螺线 一、 变力沿直线所作的功 例1. 例2. 例3. 二、液体侧压力 例4. 三、 引力问题 例5. 说明: 例6. 设星形线 同理 四、转动惯量 (补充) 例7. 内容小结 思考与练习 习题课 2. 计算两条抛物线 3. 4. 求抛物线 6. 7. 设非负函数 又 8.证明曲边扇形 9. 求由 10. 半径为 R , 密度为 因此微功元素为 11. 设有半径为 R 的半球形容器如图. (1) 求 (2) 将满池水全部抽出所做的最少功 说明: Have a nice weekend See you on Monday 提升抓斗中的污泥: 井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3m∕s, 污泥以 20N∕s 的速度从抓斗缝隙中漏掉 克服缆绳重: 抓斗升至 x 处所需时间 : 克服抓斗自重: 锐角? 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 . 备用题 斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于 解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l , 水中, 并使一直角边与水面相齐, 则其方程为 问斜边与水面交成的 故得唯一驻点 故此唯一驻点 即为所求. 由实际意义可知最大值存在 , 即 1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、 体积、 弧长、 表面积 . 物理方面 : 质量、 作功、 侧压力、 引力、 2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、 段、 带、 片、 扇、 环、 壳 等. 转动惯量 . 定积分的应用 第六章 解： 1. 求曲线 所围图形的面积. 显然 面积为 同理其它. 又 故在区域 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 分析曲线特点 解: 与 x 轴所围面积 由图形的对称性 , 也合于所求. ? 为何值才能使 与 x 轴围成的面积等 故 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 且为最小点 . 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 5. 求曲线 图形的公共部分的面积 . 解： 与 所围成 得 所围区域的面积为 设平面图形 A 由 与 所确定 , 求 图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示 选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 若选 y 为积分变量, 则 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解: (1) 由方程得 面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . 绕极轴 证: 先求 上微曲边扇形 绕极轴旋转而成的体积 体积微元 故 旋转而成的体积为 故所求旋转体体积为 与 所围区域绕 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 曲线上任一点 到直线 的距离为 则 的球沉入深为H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度 多少功 ? 解: 建立坐标系如图 . 则对应 上球的薄片提到水面上的微功为 提出水面后的微功为 现将其从水池中取出, 需做 微元体积 所受重力 上升高度 球从水中提出所做的功为 “偶倍奇零” (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 h R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为 设经过 t 秒容器内水深为h , 由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为 而高为 h 的球缺的体积为 半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成 体积元素: 故有