2-1 二重积分.pptVIP

例1. x y 0 y=x y=x2 x 　　　　　　　为确定累次积分的上、下限. 作与y轴同向的射线, 从下至上穿过D. 则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的. 解: 先画区域D的图形. 法1. 先对y积分. 里层积分的下限为x2, 上限为x. 由于该射线变化范围是[0, 1]. 因此, 外层积分下限为0, 上限为1. 即 x y 0 y=x y=x2 1 1 法2. 先对 x 积分. 作与 x 轴同向射线, 从左至右穿过D. y 则 x 是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2. 即 故里层对 x 积分的下限为y, 上限为 而该射线的变化范围是[0, 1]. 故外层对 y 的积分下限为0, 上限为1. 例2. 解: 先画D的图形. 先对 x 积分. 作与 x 轴同向的射线穿过D. 易知, x 从左方曲线y=x2即 右方曲线 y=?x+2即 x=2? y. 而 y?[0, 1]. x y 0 y=?x+2 y=x2 1 1 2 故 所以, 原式 = 问, 若先对 y 积分, 情形怎样? x y 0 y=?x+2 y=x2 1 1 2 例3. 求 解：由于 是“积不出”的，怎么办？ 要改换积分次序. 先画积分区域D的图形. 由积分表达式知，D： y ? x ? 1, 0 ? y ? 1 画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1. 如图： 故 原式 = y x 0 D y = x 　　由例2，例3知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。 例4. 改换 解：写出D的表达式， 画 D 的图形 改为先对x再对y的积分 y x 0 D 2 4 例5. 关于分块函数在D上的积分. 其中D：0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 解：积分区域如图 记 f (x, y) = | y – x | = y–x, 当y ? x时, x–y, 当y x时, 且区域D1: y ? x和D2: y x分处在直线y=x的上，下方. 故，原式 = y x 0 1 1 D D2 y = x D1 注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。 y x 0 D2 1 1 y = x D1 D 在将二重积分化为二次积分的公式 右边的二次积分不是两个定积分之积， 计算时必须由 里至外，这当然较繁琐. 但在某些情形下，可将右端 化为两个定积分之积。 例6. 设D：a ? x ? b, c ? y ? d. f(x, y)=f1(x)·f2(y)可积， 则 y x 0 d c a b 比如， 只须要求里层积分 的被积函数f2(y)和 上、下限都与x无关即可。 §2－1　二重积分 回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在[a, b]可积. 则 如图 0 x y a b xi xi+1 ? i y = f (x) f (? i) 　　其中? i?[xi, xi+1], ?xi = xi+1 ? xi , 表小区间[xi, xi+1]的长, f (? i) ?xi表示小矩形的面积. 　　设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)?0, 连续. 称为曲顶柱体. 若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积×高. 0 y z x z = f (x,y) D 如图 一、例 1.求曲顶柱体的体积V. (i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体. 如图 z = f (x,y) 0 y z x z = f (x,y) D Di Di (ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体　可近似看作小平顶柱体. ?(? i , ?i)? Di . 小平顶柱体的高 = f (? i , ?i). 若记 ?? i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f (? i , ?i) ?? i ? 小曲顶柱体体积 f (? i , ?i) (? i , ?i) Di z = f (x,y) (iii)因此, 大曲顶柱体的体积 分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得无限细, 则右端近似值会无限接近于精确值V. 也就是 (iv) 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离. 其中 (? i , ?i)? Di , ?? i = Di 的面积. x y Di 如图 (1)平面薄板的质量 M. 　　当平面薄板的质量是均匀分布时, 有, 平面薄板的质量 = 面密度×面积. 　　若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该