3 格林公式及其应用.pptVIP

作 业 P214, 4(1)(3), 6(1)(3)(5)，9 作 业 P214, 8(双) * §3 格林公式及其应用 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 定义 设 为区域， 在 内具有一阶连续偏导数， 如果对 内任意指定 的两点 以及 内由点 到点 的任意 两条曲线 和 ， 都有 成立， 则称 曲线积分 在 内与路径无关。 命题 设 为区域， 则曲线积分 在 内与路径无关的充分必要条件是： 对于 内的任意一条闭曲线 ,都有 , 定理 2 设区域 是一个单连通区域， 函数 在 内具有一阶连续偏导数， 则曲线积分 在 充分必要条件是： 内与路径无关的 在 内 . 证 1、充分性 在 内任取一条闭曲线 (不妨设其方向为逆时针方向) 所围的闭区域 全部含在 内， 在 上， 具有一阶连续偏导数，且有 因而， 由格林公式，得 即 曲线积分 在 内与路径无关 (命题） 2、必要性 （反证法） 假设至少有一点 使得 不妨设 在 内连续 又 在点 连续 存在邻域 ,使得 在 上，有 在 内， 作一个以 则在 有 记 的边界曲线为 则由格林公式，得 为心的闭圆盘 , 上 (方向取为 的边界曲线正向）， 即 曲线积分 在 内与路径无关 由命题，得 矛盾！ ，在 内处处成立 证毕。 三、 二元函数的全微分求积 问题： 给了两个二元函数 在什么条件下，存在一个二元函数 使得 ？ 定理3 设 是单连通域， 在 内具有一阶连续偏导数，则 在 内为某一函数 的全微分的充分必要条件是： ,在 内处处成立 证 1、必要性 ， ， 在 内有一阶连续偏导数 ， 存在函数 ， 使得 、 内连续 在 = 、 内连续 在 ， 即 = ， 即 2、充分性 = 在 内处处成立 由定理2 得： 曲线积分 在 内 与路径无关 在 内任取两点 和 ， 可记由点 到点 的曲线积分为 现在取定起点 ， 则 = ， 下证： = = = = = = = = = （积分中值定理） 按定义，得 同理可证： 、 在点 连续 在点 连续 从而有： 在点 可微， = 且 即 证毕。 说明： 设 是单连通的区域， 内有 若在 则由定理3，得： 存在函数 使得 ， 在 内. 怎样求？ 由定理3的证明，知： = = = 即 = 同理， = = = 即 = 设 是单连通的区域， 内有 若在 则由定理3，得： 存在函数 使得 ， 在 内. 小结： = 或 = 这里点 为 内取定一点。 例5 验证：在全平面内， 是某个函数 的全微分，并求出一个 这样的函数 . 解 令 ， , , 在全平面内. 在全平面内，存在函数 ，使得 在全平面内取定一点 则 = = = = 求函数 的另一方法： 例5 另解 （1） （2） 由(1)得 + 为待定函数 + 由(2)得 + = 这里 即 = = + 例6 验证：在右半平面 是某个函数 的全微分，并求出一个 这样的函数 . 解 令 ， , , 内， 在右半平面内 存在函数 ，使得 在右半平面内取定一点 则 = = = = 四. 全微分方程 定义 若 则一阶方程 称为全微分方程。 解法： 从而 这就是原方程的通解。 例7 解方程 解 , , ，在全平面成立. 取 ,则 这是全微分方程。 所求通解为: 例7 另解 （1） （2） 由(1)得 原方程的通解为： + + 由(2)得