2 常数项级数的审敛法.pptVIP

定理6（莱布尼茨定理） 若交错级数 满足条件： 则 (1)该交错级数收敛，且其和 (2) 证 设交错级数 的部分和为 先考察 . 由条件(1)得： 即 (*) 的子列 存在， 设极限值为 ， 则有 再考察 . 的子列 即 收敛， 其和为 [ 由条件（2） ] 在(*)式中， 令 取极限，得 即 即 即 证毕。 例8 讨论交错级数 的收敛性， 并估计 的值。 解 又 交错级数 收敛， (莱布尼茨定理) 且 三、任意项级数 任意项级数： 正、负项的出现是任意的级数。 是任意项级数， 怎样判定它的收敛性？ 是正项级数， 我们会判定它的收敛性。 那么，现在的问题是： 的收敛性 与 的收敛性之间有什么关系？ 定理7 若 收敛， 则 收敛。 证 又 ， ， 收敛 收敛, 收敛 (比较) 收敛 (性质) 证毕。 注 意 反之不然。 反例： 收敛， 但 发散。 定义 给了任意项级数 (1) 如果 收敛， 则称 是绝对收敛的。 (2) 如果 发散， 则称 是条件收敛的。 但 收敛 例如： 绝对收敛 条件收敛 说明： 由定理7得： 绝对收敛 收敛 例9 判定 的收敛性。 解 这是任意项级数。 先考虑 的收敛性， 又 收敛 它是正项级数。 收敛 (比较) 绝对收敛 即 收敛 注意 收敛 收敛 发散 发散 一般地， 但是， 如果是用比值审敛法或根值审敛法得出 发散, 则可断定 发散。 例10 判定级数 的收敛性。 解 这是任意项级数。 先考虑 的收敛性。 发散 发散 (根值审敛法) 练习 判定下列级数的收敛性， 若收敛，指出 它是绝对收敛还是条件收敛？ 练习题答案： (1) 绝对收敛 (2) 条件收敛 (3) 发散 (4) 条件收敛 作业： P268, 1, 2 , 3 , 4, 5 * §2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 是正项级数， 即： 设它的部分和为 即： 有上界， 若 则 存在 ，即 收敛。 必有上界。 若 即 存在 从而 收敛， 定理1 正项级数 收敛 它的部分和数列 有上界 反过来， 定理 2 (比较审敛法) 设 和 为正项级数， 且 ， 那么 (1) 若 收敛， 则 收敛； (2) 若 发散， 则 发散。 ， 证 (1) 记 的部分和为 的部分和为 ， 即 收敛 有上界 有上界 收敛 (定理1) (定理1) (2) 收敛 发散 (反证) 假设 则由(1)的结果得： 收敛 这与已知 发散矛盾！ 证毕。 推论1 设 和 为正项级数。 ， (1) 则 收敛。 ，又 若 收敛， ， (2) 则 发散。 ，又 若 发散， 例1 讨论 的收敛性。 解 (1) 时. 发散 发散 ( 比较 ) (2) 时. 对任意自然数 当 时， 即 即 即 即 ， 考察级数 收敛 收敛 ， 又 收敛 (推论1 ) 由(1)(2)得： 收敛， 发散， 发散。 例2 证明 证 又 发散 发散 (比较) 的收敛性。 例3 判断级数 证 又 收敛 收敛 (比较) （等比级数， ） 定理3 设 和 为正项级数。 时， (1) 当 (比较审敛法的极限形式) 记 ，那么 与 的收敛性相同. 时， (2) 当 收敛. 若 收敛， 则 时， (3) 当 发散. 若 发散， 则 证 (1) 当 时. 按定义得： 对于 ， 使得当 时，就有 即 即 即 , 收敛. 若 收敛， 则 发散. 若 发散， 则 上式也可写为 , 收敛. 若 收敛， 则 发散. 若 发散， 则 (推论1) (推论1) (推论1) (2)(3) (自己证) 例4 判定下列级数的收敛性 推论2 给了正项级数 和 . 若 ， 则 与 的收敛性相同. 定理4 (比值审敛法) 给了正项级数 若 ， 则 (1) 收敛； (2) 发散； (3) 不能判定。 证 显然， (1) 存在 使得 记 则 对上述 存在 ， 使得 就有 即 即 即 收敛 收敛 (比较) 收敛 (性质) (2) 存在 使得 记 则 对上述 存在 ， 使得 就有 即 即 发散 (级数收敛的必要条件) 即 这表明： 又 对 存在 ， 使得 就有 即 发散 (级数收敛的必要条件) 这表明： 又 (3) 例 该级数发散 例 该级数收敛 定理5 (根值审敛法) 给了正项级数 若 ， 则 (1) 收敛； (2) 发散； (3) 不能判定。 证明： 类似定理4 的证明（略） 说明 定理4和定理5 中的条件只是使结论成立的 充分条件， 而非必要条件。 反例： 正项级数 收敛 但 不存在. 例5 判定下列级数的收敛性 例6 证明级数 收敛，并估计以部分和 近似代替和 所产生的误差。 解 收敛 设它的和为 ， (根值审敛法) 即 补充内容： （不证） 柯西积分审敛法 如果 在区间 非负、连续、单调递减， 则正项级数 与反常积分