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五、向量的模、方向角、投影 2、向量的方向角与方向余弦 * 1.向量的模与两点间的距离公式 即 解 例 3 求证以 、 、 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 所以可设P点坐标为 所求点为 例4 设点 在 轴上，它到点 的距离为到点 的距离的两倍， 的坐标. 求点 解得 两向量的夹角 类似地,可定义: 两条轴的夹角. 向量与一条轴的夹角, 定义 非零向量 与三条坐标轴的夹角 称为向量 的方向角. 设 类似地有 (1) 称为向量 的方向余弦. (1)式表明： 与向量 同方向的单位向量 恰好是向量 的方向余弦. 的坐标 解 ，已知 ，它与 轴和 轴的夹角分别为 和 ，如果 的坐标为 ，求 的坐标. 例６　设有向量 解 3.向量在轴上的投影 设点 及单位向量 确定了 轴. 任给向量 作 再过点 作与 轴垂直的平面，交 轴于点 (点 称为点 在 轴上的投影) 则向量 称为向量 在 轴上的分向量. 设 则数 称为向量 在 轴上的投影. 记为 或 按定义得: 所以,向量的投影具有与向量的坐标相同的性质. 性质1 性质2 性质3 （投影定理） 解 小 结 向量的线性运算： 加法，数乘 向量的坐标 点的坐标 向径 空间中两点间距离公式 向量的概念 向量的模、方向角、方向余弦 向量在轴上的投影 投影定理 两向量的夹角 作 业 P12, 11,12,14, 15, 16, 17, 19