第八章 重积分.pptVIP

例 . 计算二重积分 例. 例1. 计算二重积分 (2) 积分域如图: 例2. 计算二重积分 例3. 计算二重积分 (2) 提示: 例4. 例5. 交换积分顺序计算 例7. 在第一象限部分. 解: (1) 两部分, 则 其中D 为圆域 把D 分成 作辅助线 两部分 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线 将D 分成 求抛物线 所围区域 D 的面积A . 解:如图所示 注: 则也可利用上述方法简化计算. 上可积 , * 第八章 二重积分 嘉兴学院 * 第*页 第八章 重 积 分 习 题 课 定 义 几何意义 性 质 计算法 二重积分 一、主要内容 1、二重积分的定义 ２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 性质１ 当 为常数时， 性质２ ３、二重积分的性质 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积 性质５ 若在D上， 特殊地 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） ４、二重积分的计算 ［X－型］ X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. （１）直角坐标系下　 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. ［Y－型］ （２）极坐标系下　 5、二重积分的几何应用 （１）计算平面图形的面积 （2）计算曲顶柱体的体积或可分解为两个或多个曲顶柱体的体积的之差或之和的空间体的体积 二、典型例题 例1 解 例2 解 先去掉绝对值符号，如图 例3 解 例4 解 例5 解 法一 法二 例6 解 例7 解 例8 证 例9 思路 例9 证 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 原式 则 提示: 如图 , 由对称性知 在 上是关于 y 的奇函数 在 上是关于 x 的偶函数 A 证明: 提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得. 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成 . 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 其中D 是由曲 所围成的平面域 . 解: 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 线 形心坐标