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第三章 一维定态问题 §1 一维无限深势阱 （一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论 （一） 一维运动 （二）一维无限深势阱 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数 （1）列出各势域的 S — 方程 使用标准条件 3。连续： 2）波函数导数连续： 在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为： 若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。 由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。 [小结] 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S—方程的一般步骤如下： 一、列出各势域上的S—方程； 二、求解S—方程； 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定 未知数和能量本征值； 四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系 数）。 （三）宇称 （四）讨论 （4）ψn*(x) = ψn(x) 即波函数是实函数。 作 业 周世勋：《量子力学教程》第二章 2.3、 2.4、 2.8 §2 线性谐振子 （一）引言 （1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子 （二）线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论 （三）实例 （一）引言 （1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数： 取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式： （二）线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论 （1）方程的建立 （2）求解 其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即： ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。 3.级数解 （3）应用标准条件 所以总波函数有如下发散行为： 为了满足波函数有限性要求，幂级数 H(ξ) 必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求 H(ξ) 从某一项（比如第 n 项）起 以后各项的系数均为零，即 bn ≠ 0, bn+2 = 0. （4）厄密多项式 厄密多项式和谐振子波函数的递推关系： （5）求归一化系数 （6）讨论 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0={1/2}?ω ≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。 5. 几率分布 （三）实例 解： （1）三维谐振子 Hamilton 量 （2）本征方程及其能量本征值 （3）简并度 （2）改写 V(x) （3）Hamilton量 进行坐标变换： （4）Schrodinger方程 作 业 周世勋《量子力学教程》2.5 曾谨言 3.8、3.9、3.12 §3 一维势散射问题 (一）引言 （二）方程求解 （三）讨论 （四）应用实例 (一）引言 （二）方程求解 3. 求解线性方程组 几率流密度矢量： 于是透射系数为: （2）E V0情况 （三）讨论 例1: 入射粒子为电子。 （四）应用实例 除了大家熟悉的α衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，下面介绍两个典型实例。 （1）原子钟 （2）场致发射（冷发射） （1）原子钟 （2）场致发射（冷发射） （2）任意形状的势垒 则 x1 → x2贯穿势垒V(x)的 透射系数等于贯穿这些小 方势垒透射系数之积，即 此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。 0 a b V(x) E 对每一小方势垒透射系数