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第2届中国东南地区数学奥林匹克
第1天
(2005年7月13日8:00~12:00)
(1)设,求证抛物线都经过一个定点,且顶点都落在一条抛物线上
(2)若关于的方程有两个不等实根,求其较大根的取值范围
如图,圆(圆心为)与直线相离,作,为垂足。设点是上任意一点(不与点重合),过点作圆的两条切线和,和为切点,与相交于点过点作,,和为垂足。求证:直线平分线段。
设是正整数,集合。求最小的正整数,使得对于的任何一个元子集,其中必有4个互不相同的元素之和等于。
试求满足,且的所有三元正整数组。
第2天
(2005年7月14日8:00~12:00)
已知直线与单位圆相切于点,点与圆在的同侧,且到的距离为,从点作的两条切线,分别与交于两点。求线段与线段的长度之乘积。
将数集中所有元素的算术平均值记为,()。 若是的非空子集,且,则称是的一个“均衡子集”。 试求数集的所有“均衡子集”的个数。
(1)讨论关于的方程的根的个数。
(2)设为等差数列,且 求项数的最大值。
设,且,求证:
答案(1) 令因此抛物线过定点(29)该抛物线的顶点座标为
消去a得的大根为
令a+6=2k,则
由判别式得k3或k -3当k -3时, x5;
当k3时, , 可得-1x2.
综上得,方程的大根x的取值范围为作I为垂足, 记J为直线MN与线段PK的交点易知 故O、B、Q、P、A均在以线段OQ为直径的圆周上
由于所以由Simson定理知: 的外接圆上一点P在其三边的垂足N、M、I三点共线,即N、M、J、I四点共线因为所以QOPI, 所以, 又因为P、A、I、M四点共圆,P、A、O、Q也四点共圆,所以
所以在直角三角形PIK中, , 所以J为PK的中点 因此直线MN平分线段KP考虑M的n+2元子集P={n-1, n, n+1, …, 2n}。P中任何4个不同元素之和不小于n-1+n+n+1+n+2=4n+2, 所以。
将M的元配为n对。
对M的任一n+3元子集A,必有三对同属于A(两两不同)。
又将M的元配为n-1对, 。对M的任一n+3元子集A必有一对同属于A这一对必与刚才三对中至少一对无公共元,这4个元素互不相同,且和为2n+1+2n=4n+1。
因此,所求的最小k=n+3。
由于任何奇平方数被4除余1,任何偶平方数是4的倍数,因2005被4除余1,故三数中,必是两个偶平方数,一个奇平方数。
设a=2m,b=2n,c=2k-1,m, n, k为正整数,原方程化为:
又因任何平方数被3除的余数,或者是0,或者是1,今讨论k:
i) 若,则由,,于是m, n都是3的倍数。
设m=3,n=3,并且是整数,由
于是
设=3r+2,则
且由,所以。
故由,k可取3,7,12,16,21,代入分别得到如下情况:
, , , ,
由于55、51都是4N +3形状的数,不能表为两个平方的和,并且9也不能表成两个正整数的平方和,因此只有k=12与k=16时有正整数解,。
当k=12,由=41,得(, )=(45),则a=6=24b=6=30,c=2k-1=23,于是a, b, c)=(24, 30, 23)。
当k=16,由=29得(, )=(5),则a=6=12b=6=30,c=2k-1=31,因此a, b, c)=(12, 30, 31)
(ii) 若时,由于任何三个连续数中必有一个是3的倍数,则k+1是3的倍数,故k被3除余2,因此k只能取2,5,8,11,14,1720
利用式分别讨论如下:
若k=2,则=499,而,此时无解
若k=5,则=481,利用关系式
可知。
所以m, n)=(20, 9)或15, 16)。
于是得两组解a, b, c)=(2m, 2n, 2k-1)=(40, 18, 9)或30, 32, 9)。
若k=8,则=445,而 。
所以m, n)=(21, 2)或18, 11),得两组解a, b, c)=(2m, 2n, 2k-1)=(42,4,15或36, 22 15)。
若k=11,有=391,而,此时无解;
若k=14,有=319,而,此时无解;
若k=17,有=229,而,得(m, n)=(152),得一组解(a, b, c)=(2m, 2n, 2k-1)=(304, 33);
若k=20,则=121=,而不能表示两个正整数的平方和,因此本题共有7组解为:(2324, 30),(1230, 31),(98, 40),(930, 32),(415, 42),(1522, 36),(430, 33)。经检验,它们都满足方程。
设PB、PC的长度分别为p、q,设,设AC与S的切点为E,记圆心为O,设AE的长度为t,连接AO、OE,则在直角三角形AOE中,我们有
因此。
这样我们可得的面积为。
又因为
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