线性代数习题答案.doc

线性代数 线性代数第一章没有答案 习 题 二 3．设 是互异的实数，证明： 的充要条件是 . 证明： 又 是互异的实数 6．设 为可逆矩阵， 与 是 阶方阵，且满足 ，证明： 和 都是可逆矩阵，求 . 证明： 可逆，则 也可逆. 说明 是可逆的，且有 ， 同时有 ，所以 也是可逆的. 7．若 ， 是 阶方阵，且 可逆，则 也可逆，且 . 证明： 与 关系式应满足 于是 说明 也是可逆的，且 . 8．设 ， 是 阶方阵，已知 可逆，且 ，求证： 可逆. 证明：由于 可逆，则有 ， 即 即 又 ，则 ，故 可逆 则 从上式可知 是 的逆阵， 故 是可逆的. 9．设 为 阶正交矩阵，求证： . 证明：由 为正交矩阵，则 即 又 为正交矩阵，则 于是 10．设 ， 是 阶方阵，证明： . 证明：由矩阵的初等变换可得 由于 为偶数，所以 .??????? 14．假设 为 阶可逆方阵，证明： ⑴ ⑵ ⑶ 证明: ⑴ ⑵ 则 又 ⑶ 又 即 是可逆的. 又 即 16．设矩阵 , 证明: 时, ( 为三阶单位矩阵) 证明: 通过计算可得 , 由数学归纳法,假设当 ( )时命题成立,即 则当 , 故命题成立. 18．已知 ， 是 阶方阵，且满足 ，证明： . 证明：由题意可知 同理可得 19．设 是 阶方阵， ，如果 ，证明： . 证明： ，则 可逆. 两式相减可得 20．设 为 阶非奇异矩阵， 为 维列向量， 为常数，记分块矩阵 ⑴ 计算并化简 . ⑵ 证明：矩阵 可逆的充要条件是 . [解答] ⑴ 因为 所以 原式 ⑵ 又 即 又 ， ， 可逆，则 ，又 ，所以 为矩阵 可逆的充要条件.? 习 题 三 2．设有三维列向量 ，问 为何值时， ⑴ 可由 线性表示，且表达式唯一； ⑵ 可由 线性表示，但表达式不唯一； ⑶ 不能由 线性表示； [解答] 对增广矩阵作初等行变换有 ⑴ 当 时， ，有唯一的表达式. ⑵ 当 时， ，表达式不唯一. ⑶ 当 时， ，不能表示出来. 4．已知 个向量 线性相关，但其中任意 个都线性无关，证明： ⑴ 如果存在等式 ，则这些系数 或者全为零，或者全不为零. 证明： ① 若 ，则 ，又任意 个向量线性无关，故必有 . ② 若 ，则 必全不为零，若存在 ，则向量 线性无关，与题设矛盾. ⑵ 如果存在两个等式 ， ，其中 ，则 [证明] 将等式两边分别乘上 后得 两式相减可得 ，又 线性相关，则 ，即 . 5．设向量 线性无关，问常数 满足什么条件时， ， 线性相关. [解答] ，又 线性无关，所以向量组 线性相关的充要条件是 ，即当 时，向量组是线性相关的. 6．设 是 阶矩阵，若存在正整数 ，使线性方程组 有解向量 ，且 ，证明：向量组 是线性相关的. [证明] 设有实数 使得 ， 又 ， ，则 ( )等式两边同乘 有 即 ，又 ，则有 ,同理可证 ， 由定义知向量组 是线性相关的.???? 习 题 四 3．设有线性方程组 ，问 为何值时，方程组有唯一解？有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出一般解. [解答] 对增广矩阵作初等行变换，有 当 ， ，方程组有唯一解. 当 ， ，方程组无解. 当 ， ，方程有无穷解，此时，方程组变换为 解方程可得 6．已知 及 ① 为何值时， 不能表示成 的线性组合. ② 为何值时， 有 的唯一的线性表示，并写出该表示式. [解答] 对增广矩阵作初等行变换，有 ① 当 时，对增广矩阵继续变形可得 为任何值时， ，即 不能表示成 的线性组合. ② 当 时，有唯一解，此时 ， 有唯一的表达 式，即 7．已知方程组 与方程组 同解，试确定 之值. [解答] 由题意可知 是等价向量组，有 ??? 习