微分方程建模中的若干问题.pptVIP

3. 偏微分方程 建模问题 —— 休渔期鱼群分布规律模型 建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。 建模假设：(1) 海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸 线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维； 海岸 0 外海 x (2) 规定休渔区域在沿海 l 公里以内；休渔边界 x = l 外，鱼群将全部被外海渔船打尽； (3) 任何地点 x 、任何时刻 t 的鱼群密度分布函数 u ( x , t ) 为可微函数； (4) 初始时刻的鱼群密度分布函数 u ( x , 0 ) 为已知函数 u 0 ( x ) ； (5) t 时刻 、x 处鱼群密度 u ( x, t ) 的增长速度为 已知函数 f ( u ) ; (6) t 时刻 、x 处鱼群数向外游动的扩散量 Φ( x , t ) 与 u x ( x, t ) 成正比 ，比例系数为常数 a 2 ： 这个假设类似于热量扩散问题中的 Fourier 法则 。 建模过程 单位时间里 ，[ a , b ] 段上鱼群数的变化量为： 这个变化量可分为两项之和，一项为单位时间里，残留 在 [ a , b ] 段内的鱼群数： 另一项为单位时间里， [ a , b ] 段内的新生鱼群数： 其中初边值 条件为： 0 l x t 这个偏微分方程的初、边值问题是 适定的 ， 即问题的解是 存在、唯一 的，且 连续依赖 于初边值数据。 4. 自由边界问题 自由边界问题是一类较为复杂的偏微分方程问题，这种 类型的问题在各种各样的应用中非常频繁地出现，例如 它可出现在物相变化过程、化学反应过程、生物扩散 过程、土壤冻过程等等的物理、化学现象之中，甚至 还出现在金融衍生物价格计算、抵押贷款评估研究等等 的经济现象之中。 （1）一相 Stefan 问题 考虑一根套在与四周完全绝缘隔热的管子中而正在融 化的细冰棍；其右端为冰，左端为融化而成的水。拟 建立一个融化水区域上任意点处温度随时间演变的模型。 建模假设： （1）假定冰区域温度恒等于零度； （2）假定水区域中热量传导服从 Fourier 定律 ，即 单位时间中高温点到低温点的热流量大小与两点 之间的温差成正比； 由此可推出以下等式： （3）假定水的密度 ρ、比热 c 、热传导系数 k 和 为了融化冰为水的潜热 L 均为常数 。 * * 微分方程建模中的若干问题 ———— 数模竞赛辅导札记 1. 微分方程建模中假设的 提出 与 修改 问题 “ 商品价格变化的两大特点 ” ： 平衡价格应是 商品供需平衡 的价位； 趋于过程应具有惯性特征：呈现 阻尼震荡 过程特征 建立在 市场经济 下 价格变动模型 具体问题：试图建立一个 数学模型，描绘在健全的市场 经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低 的价格将会 自动趋于平衡 。 建模目的：建立一个价格随时间演变, 以 阻尼振荡 方式 逐渐趋于理性的 商品供需平衡价格 的模型。 (3) 商品价格的变化速度 p’ ( t ) 与市场的 过剩需求 D ( t ) – S ( t ) 有关. 假定它们之间成 正比 : (2) 商品供应 S ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为 线性关系 ; 建模假设： (1) 商品需求 D ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为 线性关系 : 模型建立： 模型分析： 当 时 , 当 时 , 结论未能达到建模目的！ 说明商品价格是 单调 地趋向平衡价格. 建模假设的 修改 ： (3)* 商品价格的变化速度 p’