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一 函数 二 函数的极限 三 函数的连续性 例如, 例1. 已知 例2. 设 1.自变量趋于无穷大时函数的极限 例 证明 两种特殊情况 : 2.自变量趋于有限值时函数的极限 定义1 . 设函数 例1. 证明 例2. 证明 左极限与右极限 例. 设函数 一、 无穷小 定义1. 若 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 二、 无穷大 注意: 三、无穷小与无穷大的关系 无穷小运算法则 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 无穷小运算法则 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 例. 求 定义. 例1. 证明: 当 内容小结 1.4.1 函数的极限运算法则 （2） 若 （3） 若 1.4.1 函数的极限运算法则 （2） 若 （3） 若 例5 . 求 例6 . 求 一般有如下结果： 例7. 求 例7. 求 思考及练习 1. 函数极限存在的夹逼准则 二、 两个重要极限 注 例1. 求 例2. 求 2. 例2. 求 两个重要极限 思考与练习 对自变量的增量 一、 函数连续性的定义 对自变量的增量 定理2. 连续函数的复合函数是连续的. 初等函数的连续性 例1. 求 一、最值定理 推论. 定理3. ( 介值定理 ) 习题课 一、 函数 2. 函数的特性 例1. 设函数 例2. 思考与练习 2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么? 3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ? 4. 设 5. 已知 二、 连续与间断 3. 闭区间上连续函数的性质 三、 极限 3. 无穷小 例6. 求下列极限： 例7. 确定常数 a , b , 使 2. 求 解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 . 代入原方程得 代入上式得 设 其中 求 令 即 即 令 即 画线三式联立 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? 相同 相同 相同 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不是 是 不是 提示: (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ⑶ ⑵ ⑷ 以上各函数都是初等函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 及其定义域 . 5. 已知 , 求 6. 设 求 由 得 4. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有函数的增量 可见 , 函数 在点 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 有函数的增量 左连续 右连续 当 时, 有 函数 在点 连续有下列等价命题: 在其定义域内连续 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 1.5.3 初等函数的连续性 证: 设函数 于是 故复合函数 且 即 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 解: 原式 在x0有定义 1.在x0附近定义; 2.极限存在 1.在x0 及其附近定义; 2.极限存在 无穷间断点 震荡间断点 可去间断点 跳跃间断点 第二类间断点 第一类间断点 无穷间断点 震荡间断点 可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点 第二类间断点 第一类间断点 ● ● ● 哎呀,不好!有个洞, 还没有支撑， 我掉下去了!!! 注意到： 这种间断点称为可去间断点. ● ● ● 哎呀,不好!有个洞, 还没有支撑， 我掉下去了!!! 注意到： 这种间断点称为可去间断点. 正好，连上了，我和其他的点连上了！ ● ● ● 哎呀,太高了!够不着，又有个洞, 我还是掉下去了!!! ● 注意到： 这种间断点称为可去间断点. 正好，连上了，我和其他的点连上了！ ● ● ● 哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆着了!!! ● ● 注意到： 这种间断点称为可去间断点. 正好，连上了，我和其他的点连上了！ ● ● 哎呀,前不着村，后不着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊， 我还是掉下去了!!! ● 注意到： 这种间断点称为跳跃间断点. 这点放哪儿能接上呢？ ● ● ● 哎，小红点，你跑哪去了？ 快救救我，我要跑到未知世界去了！ 这种间断点称为无穷间断点 ●：Hi, 小红点，你能不能停住？