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張輝鑫老師 金融市場 年金論 的筆記與計算例整理 壹 年金的定義 所謂年金(Annuity)，相同時間相同的金額1. 每期所金額相同2. 每隔的時間固定3. 計算每複利一.普通年金(Ordinary Annuity)：年金於每期期末為收付者，謂之普通年金。 二.到期年金(Annuity Due)：年金於每期期初為收付者，謂之到期年金。 三.遞延普通年金(Deferred Ordinary Annuity)：普通年金於遞延數期之後，才開始於其後每期期末為收付者，謂之遞延普通年金。 四.遞延到期年金(Deferred Annuity Due) ：到期年金於遞延數期之後，才開始於其後每期期初為收付者，謂之遞延到期年金。 一般稱普通年金為期末年金，蓋其年金之收付係發生於每期期末。 一般稱到期年金為期初年金，蓋其年金之收付係發生於每期期初。 參 年金的應用 一、普通年金現值 普通年金為權利義務雙方約定於未來一段期間，區分數期，每期期末收付一筆固定金額。 今欲求該普通年金於合約伊始(年金契約成立之初)時之現值若干。 公式推導 若每期期末收付1元，每年收付1次，則此N年計N次之期末年金總現值為每期年金現值之和。 期初現值 PV＝+++ ++ ———( 等號兩邊同時乘以(1+i)，得 (1+i)×PV＝1+++ …… ++———( 以第(式減第(式，得 i×PV＝1 - 移項後得 PV＝ 故知： (一).所解得PV＝ … (公式3-1) 這是每年收付1元，連續N年的普通年金期初現值 (二).若每期存Po元，則此普通年金之期初現值為 得PV＝Po × … (公式3-2) 這是每年收付Po元，連續N年的普通年金期初現值 (三).若繼續將年金之收付由每年改每月收付1次，則此普通年金之期初現值為 PV＝Po × … (公式3-2) 這是每月收付Po元，連續N年的普通年金期初現值 (以上三段思維，適用於各種年金現值與終值求解之推論) 例：某甲上市公司。。。? 某乙於持有該批公司債一年又九個月後，預期市場利率水準行將走揚，遂以更低於取得成本的當時市價 1.85% 賣斷給某丙投信公司。? 投資報酬率若干 ? (本題不考慮稅費成本) 分析：(1). 買賣債券的成交總金額，將等於成交日後所有還本付息現金流量的總折現值。。。，債券價格與殖利率呈反向變動。 (3). 某甲公司。司。。 + ＝(50,00,000 × 2.125% ) × + ＝6,874,508.48446 + 43,505,611.39645 ＝50,380,119.88091 應取正整數 ＝50,380,120 元 ………某乙買進某甲公司債應付交割總價金……答1 解2：依分析(4)，某乙賣斷債券給某丙之成交總金額，為賣斷成交日之後全部還本付息現金流量的總折現值。 t=0~5 ，CFt是成交日後第t期現金流量，i是本交易之到期殖利率，故 PV ＝ ++ + + + …前六項是付息流量折現值，最後一項是還本的折現值 ＝ 1.057,641.97965+1,038,431.00604+1,019,568.97991+1,001,049.56300 +982,866.53215+965,013.77727+45,412,413.04814 ＝ 51,476,984.88616 取正整數後，得 ≒ 51,476,985元……某乙賣出某甲公司債應收交割總價金……答2 (請注意，計算時應保留全部精密度，切勿任意截取小數位數) 某乙買賣債券之毛利為 Pf1＝ 51,476,985 – 50,380,120 ＝ 1,096,865 元 但某乙參加除息一次，應再加入該次債息收益 Pf2＝ 1,096,865 + 50,000,000X2.125% ＝ 1,096,865 +1,062,500 ＝ 2,159,365 元 ………此某乙投資總淨利…………………答3 故某乙買入債券持有一年又九個月後再賣出之投資報酬率為 RR ＝ ＝ 2.44923 % 只比票面利率2.125 % 稍高………答3 【討論】為什麼當交易日非恰是還本付息日時，不再套用年金公式來求算債券成交 總金額？ 答：買賣債券的成交總金額，將等於成交日後所有還本付息現金流量的總折現值，其折現率即為成交殖利率，這個原則不論交易日是否恰是還本付息日否，都是不變的。但當交易日非是還本付息日時，從交易日來看其後的還本付息現金流量，已非年金定義中所謂「於未來一定期間，區分為相同時間相同的金額+(1+i)+(1+i) ……… + 1 ———( 等號兩邊同時乘以(1+i)，得 (1+i)×FV＝(1+i)+(1+i)+ (1+i)+ …… +(1+i) ———( 以第(式減第(式，得 i×FV