切测度几何分析.pdf

摘要 切测度作为当代几何测度论之最为重要的技术工具之一，其在奇异积分与 rectifiability之关系的研究中起重要的作用。切测度可用来刻画一个测发的局 部’陛态。切测度在许多方面都有其应用，例如在PDE、变分、调和分析和分形 方面的研究。 本文系统研究了切测度的几何特征以及对于测度之切空间的几何特征。给出 了切测度、测度具有rectlflability性和平坦性的判定条件。同时，对切测度 分布、varifoid、current的几何特征作了较为系统的分析研究。获得了一些 较为有意义的结果，如切测度的结构性定理、关于测度之切空间的比较定理等。 利用关于集合的“Blow-up”技巧证明了类于切测度的切集的存在性定理，同 时考察了方向切分类定理。利用varifoId的关于“cube”的密度特征，证明 的证明。对于切测度分布，我们给出了切测度分布的共形不变性特征。对于度量 Jacobian current的特征刻画，并对广义Plateau问题作了初步研究。 另外，我们还给出了切测度及切测度分布的一些有意义应用。借助于切测度 的基本特征，我们给出了Marstrand定理的一个新证明。对于切测度分布，我 们讨论了切测度分布的集中性。 第一章我们给出了关于测度的切空间的相关定义以及方向切的定义。建立了 切空间之比较定理。本章还给出了一些有趣的实例。 第二章讨论切测度的几何特征及测度与切测度的平坦性特征。利用 一blow．up”技巧和对偶性原理，我们证明了切集的存在性定理。作为切测度的一 个应用，本文给出了～个Marstrand型定理。 第三章主要研究切测度分布的几何特征。为了获取有关切测度集之结构的更 多的信息，本章引入切测度分布的概念。切测度分布可视为是切测度概念的一种 推广。我们给出切测度分布的一些特征，如scaling特征、平移不变性特征等。 研究了切测度分布的集中性和切测度分布的共形不变性。 第四章，我们讨论varifold理论。首先，从几何观点出发，讨论曲率 varifold，给出了结构性定理。利用cube型的密度定理，研究了三维欧氏空 切并证明了一个关于varifold的等周不等式。 第五章主要研究current理论。首先，研究度量空间中的current理论。 特征。 我们同时研究current的分解定理及由rectifiablecurrent诱导的 motion 我们利用Brakke 测度的属性；其次探讨current的正则性问题。 弱Jacoblan 构定理。 关键词： Radon测度，切测度，切测度分布， Rectiflability,密度， Varifolds，Currents，Plateau问题。 Abstract measureshave technical ofthemost in Tangent becomeone important tools measure have a inthe and of contemporarygeometrictheory playedmajorpart study the connectionbetween and measurescanbe singularintegralsrectifiability．Tangent to useddescribethelocal