秩滤波收敛性理论及小波正交性.pdf

博士后研究工作报告 叶万洲 上海交通大学数学系 自二零零一年九月进入上海交通大学数学系博士后流动站以来，主要以国 家博士后基金项目“秩滤波的收敛性理论及小波的正交性”为研究课题，进行 了为期两年的研究工作． 一．秩滤波的收敛性理论 1971年著名学者J，W Tukey在他的开拓性论文中提出中值滤波的概念并用 于时间序列的平滑。之后，有关非线性滤波的理论及应用研究成为信号处理 的重要研究课题之一。同线性滤波相比，非线性数字滤波因其对尖脉冲的良 好抑制能立及在平滑加性噪声时能保持信号边缘特征等优点而备受瞩目。它 们已在语音和图像处理中有了成功的应用。其中秩滤波是非线性数字滤波中 一类重要而基本的滤波。同线性滤波的理论相比，秩滤波的理论研究还很不 完善。我们从数学的角度对秩滤波理论中的基本问题一秩滤波的收敛性理论 进行了系统的研究。 是一实数列．对每一n∈Z，我们用记号z(，)(，。)表示下面2女+1个实数 z(n—k)，z(n一％+1)，·．．，z(n)，·一，z(n+≈一1)，z(n+k) 由小到大重排后位于7的个位置的数．通过这样的运算，z={z(n))。；z变成 收敛，或者说{。(一’)p1收敛，此时＆={。(n))。。。称为z(一)的极限． 一个自然的问题是：对一般的实数列z={z(竹)}。瞄当p_÷。。时，。(一)是否 收敛?如果不收敛，z(，)又怎样的变化性态?我们分以下几步对这一基本问 题给出了圆满的回答． 首先我们通过建立一类特殊的二值实数序列的能量这一工具，得到了下面 的结果． 有g：(2p叫’(礼)=z2尸_1(n)，z(2p’(扎)=x(2P)(?1)． 进而根据秩滤波的层叠性质并利用积分的方法证明了以下结果． 者{z‘29’)纠与{z(2”’)纠分别收敛于秩滤波的循环序列，若记该循环序列分别 为＆与卢，则又有0_(，】=卢，卢(11=。． 另外，我们还证明了秩滤波的循环序列必是二值的，而且是周期的． (以上结果已被((中国科学))接受发表) 最后，我们还研究了一般实数序列值滤波的收敛性态，即 则(i)若d=卢，z 秩滤波的循环序列． 二，小波的正交性 几年来，小波(Wavelets)理论及其应用得到了空前的发展。小波的发展带来 的影响之深远，涉及面之宽广都是令人瞩目的。在数学和物理领域，它应用于 函数论，篇微分方程，非线性分析，分形，混沌理论，量子场论等；在工程技 术领域，它广泛应用于信号处理，图像处理，地震勘探，语音识别与合成，雷 达，CT成像，机械故障珍断与控制等．长期以来，无论理论领域，还是技术 领域，人们力图寻求对各类函数空间的简单刻画，即希望能找到函数空间的 基，因而研究小波的正交性成为小波理论中的基本研究课题．关于伸缩因子 为2的小波正交性的理论已比较完善．我们主要是研究伸缩因子为3的小波 的正交性． 在L2(R)中，对任意，(z)，9(z)∈L2(月)定义 (，，g)2厶m)9(z)如 函数f(x)∈酽(R)的Fourier变换 m)2厶m)e。…妇， 则 m)=厶m)护”‰ 我们称，(z)∈L2(固是一正交函数，如果 (，(·一m)，，(一n))=6。。I，n∈z 设m∞)是周期为l的三角多项式，且满足m(0)=1， {m∞)12+{m(u+；)12+1m(u一；){2=1u∈R 令参(u)=兀器，m(3一，“)此函数砂(。)被称为伸缩因子为3的尺度函数．事实 上，并非所有的尺度函数都是正交的，那么一个自然的问题是：m(u)满足什 么样的条件由其确定的尺度函数是正交的?为此我们引进非平凡圈的概念． 对每一∈∈(一；，；)，令 7_f={3己∈∈[一；，；)， 如懂，+11；：旨I≯I 【3∈一l，f∈噶；)． s 且对任何0≤in一1，6=r已+1)其中岛=知． 进而我们得到正交尺度函数的一个充要条件，即