曹汝成 组合数学 华南理工大学-习题解答.pdf

组合数学 习题解答 习题一 1.因为3,6,…,99 有33 个数,所以从1~100 中去掉这33 个数还有67 个,因此满足题意的数的对 数为67× 66 = 4422 2n ! 2.(理解:组与组没有先后,每组中人与人没有顺 ). 因而为( ) 种方法. 2n ⋅n! 3. 因为 3 2 2 2 ,所以 88200 = 2 3 5 7 2α 1 3α 2 5α 3 7α 4 , (其 中0 ≤ α 1 ≤ 3, 0 ≤ α 2 ≤ 2, 0 ≤ α 3 ≤ 2, 0 ≤ α 4 ≤ 2 ) 为整除 88200 的正整数.因此个数为:4 × 3× 3× 3 = 108 4. 因为510510 = 2× 3× 5× 7×11×13×17 ,所以 α1 α 2 α3 α 4 α5 α6 为整除510510 的正奇数.因此 3 × 5 × 7 ×11 ×13 ×17 , 0 ≤ α ≤ 1,i = 1,2, ,5 ( i ) 个数为:2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 . 5.分横向与纵向两种情况来考虑:m(n − 1) + n(m − 1) 6. 中各取一个元素:取零时有 3× 3 × 2× 2!个, 不取零时有 1,4,7 , 2,5,8 , 0,3,9 ( ) { } { } { } 3× 3× 2 × 3! 个; 或三个元素取自于同一个集合:取自 1,4,7 有3× 3× 3 个, 取自 ( ) { } 2,5,8 有3× 3× 3 个,取自 0,3,9 有2 × 3× 3个,共有216 种. { } { } n−1 n−1 n−1 7. 因为含1的集合个数等于不含1的集合个数,有2 个, 同理有2 个2 , , 2 个n ,所 以 δ a = 2n−1 + 2 ⋅ 2n−1 + + n ⋅ 2n−1 = 2n− 2 n n + 1 ∑ ( ) ( ) a∈A 8.按先找万位,再找个位,然后找其它位的先后顺 ,因为各位数字相异,所以 (1)考虑万位选 的情形:此时个位有 种选择,十位有 种选择,百位有 种选择,千位有 2 9 8 7 6 种选择; (2)考虑万位不选 的情形:此时万位数字有 种选择,个位有 种选择,十位有 种选择,百 2 7 8 8 位有 种选择,千位有 种选择; 7 6 所以和为:9× 8× 7 × 6 + 7 × 8× 8× 7 × 6 = 21840 . 9.按先找千位,再找百位,然后找其它位的先后顺 ,因为各位数字相异不能选2,7 ,所以 (1)考虑千位选 的情形:此时百位有 种选择(可选 ),个位有 种选择,十位有5 5 5 4,5,6,8,9 6 种选择; (2)考虑千位不