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各向同性湍流中的尺度及其相互作用问题 ——自保持解结构分析 冉 政 上海大学，上海市应用数学和力学研究所 上海（200072） 摘 要：基于自保持假设，本文得到了各向同性湍流二元关联函数的四种不同解，根据此种 解本文得到了对应 Taylor 微尺度所满足的守恒关系，以及积分尺度所满足的递推关系；本 文给出了基于自保持解的各向同性湍流的一般能谱公式；最后，讨论了小波数区的能谱渐近 行为。对于存在的学术争议问题，提出了新的看法。 关键词：各向同性湍流，尺度， 目录 [0]引言 [1]Karman-Howarth 方程 [2] 自保持解 [3]尺度演化方程 [4]三元关联系数解 [5]Taylor 微尺度及守恒方程 [6]积分尺度及递推关系 [7]一般能谱公式 [8]大尺度动力学 [9]结论 引 言 包括已故的诺贝尔奖获得者 Feynman 在内的好几位物理学家认为，湍流是 经典物理学中尚未得到解决的最后一个大难题。对湍流基础研究的进展，可以直 接导致许多实际工程及科学应用的进步。例如，坚实地掌握湍流机理，可以使工 程师减小汽车或民用客机的气动阻力，改进喷气歼击机的机动性，提高发动机的 燃料效率。在学术上，湍流研究促进了各学科的交叉。总之，湍流研究具有重要 的学术意义和应用价值。 均匀各向同性湍流是现代湍流统计理论中最为基础的部分，剪切湍流以及可 压缩湍流的理论发展均与此密切相关。20 世纪初，由于热线风速仪的迅速发展， 人们采用概率来研究湍流场的统计特性及其相互关联行为。Taylor 首先对均匀各 向同性湍流进行了理论探讨，导出了湍流动力学特征微分方程，并且在风洞作出 近似流态的实验证实。后来，von Karman 和Howarth 引入正交坐标系的张量运 算，简化了Taylor 的公式而得到著名的Karman-Howarth 方程，这是各向同性湍 流理论的基础。在寻求湍流方程组的封闭过程中，Taylor （1938）又提出了湍流 的能谱理论，他应用了Fourier 变换，验证了相关函数与一维能谱之间的数学关 系。后来，Heisenberg 引入了三维能谱概念，导出二阶速度关联，三阶速度关联 与三维能谱张量，传递谱张量的关系，并且把von Karman-Howarth 方程从物理 1 空间转换到谱空间。但这种方法并没有解除湍流相关理论的缺陷。另外，随着湍 流研究工作的深入，人们越来越多地注意到均匀各向同性湍流理论的一些内在矛 盾，在这种背景下，有必要重新考察均匀各向同性湍流理论的理论基础，本项研 究拟从一个新的理论角度出发，对现有的均匀各向同性湍流理论 （包括可压缩湍 流的统计理论）进行全面的评估和发展,对一些有争议的湍流学术问题提出新的 见解。 目前，由于理论和直接数值模拟工作的研究深入，越来越多的研究工作对于 人们认为已经成熟的均匀各向同性湍流理论提出了一些挑战问题，这里主要以不 可压缩湍流的尺度以及能谱方面所面临的挑战进行论述： ①各向同性湍流大尺度动力学。在湍流的谱空间中反映的是低波数段的行为，在 这一波数段主要是大尺度结构起作用，它直接与流动系统守恒量相关联。传统的 湍流理论预测的是在极低波数区湍谱是Batchelor 谱，后来，Saffman 发现在一定 的条件下，可以得到另外的低波数段谱，即所称的Saffman 谱。这两种谱形式是 矛盾的，并对应不同的系统守恒量，直接数值模拟的结果显示问题可能与初始的 能谱形式有关，如何在均匀各向同性湍流理论框架内得到问题的理解是一个没有 解决的理论问题； ②均匀各向同性湍流理论中一种比较有效的简化是von Karman 提出的自保持假 设，这一假设的条件是流场存在单一的长度尺度和速度尺度，对于自保持解存在 的条件学术