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初中几何综合复习（讲稿） —矩形折叠问题 同学们好，今天我和大家一起研究平面图形的折叠问题。 首先，在最近几年的中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们 识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都 提出了比以往更高的要求。希望通过今天的讨论，使同学们对折叠问 题中有关的几何图形之间的位置关系和数量关系有进一步认识；在问 题分析和解决的过程中巩固头脑中已有的有关几何图形的性质以及 解决有关问题的方法；并在观察图形和探索解决问题的方法的过程中 提高分析问题和解决问题的能力。 那么，什么是折叠问题呢？ 这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关的 问题。下面我们将对它们分别进行讨论 一.折叠的意义 1．折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180o，使它与另一 部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程， “叠”是结果。 l B ´ Bَ D C A B O A B 图1 图2 如图（1）是线段AB 沿直线l 折叠后的图形，其中OB ˊ是OB C 在折叠前的位置； 图（2 ）是平行四边形ABCD 沿着对角线AC 折叠后的图形，△ ABC 是△AB ˊC 在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形； (2) 图形在折叠前和折叠后翻折部分的形状、大小不变，是全等形 如图如图（1）中OB ˊ=OB ； 如 图（2 ），△AB ˊC≌△ABC ； (3) 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称 如图（1）OB ˊ和OB 关于直线l 成轴对称； 如图（2 ）△AB ˊC 和△ABC 关于直线AC 成轴对称。 二．和折叠有关的问题 图形经过折叠，其翻折的部分折叠前的图形组合成新的图形， 新的图形中有关的线段和角的位置、数量都有哪些具体的关系呢？这 就是我们今天要重点讨论的问题。下面，我们以矩形的折叠为例，一 同来探讨这个问题。 问题1: 将宽度为a 的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆 盖的部分△A ˊEF. F 2 1 a 3 A ˊ E （a ）△A ˊEF 是什么三角形？ ： 三角形 AE΄F是等腰三角形 结论： 三角形 AE΄F是等腰三角形 结论 证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等的, ∴∠1= ∠2, 又∵矩形的对边是平行的∴∠1= ∠3,∴ ∠2= ∠3, ∴ A΄E= A΄F A΄E= A΄F 三角形 AE΄F是等腰三角形 三角形 AE΄F是等腰三角形 F 方法二： P a ∵图形在折叠前和折叠 后的形