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减轻解析几何运算量的方法初探 大连八中 王洪志 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数 的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速 度，以至于被迫中止解题的过程达到望题兴叹的地步。特别是高考过程中，在规定的时间内， 保质保量完成解题的任务，计算能力是考察的一个重要的方面。解析几何，有目共睹，每年的 大题基本上都是压轴题的形式出现，计算能力的考查倾向尤为突出。为此，我将从以下几个方 面探索减轻运算量的方法，合理简化解题过程，优化思维过程。以此作为高三教师高考复习如 何去教，学生高考复习如何去学的一个有益的参考。 一、 建立直角坐标系要科学 用解析法求证几何问题，常常需要建立坐标系，坐标系建立的不科学，则为计算带来 许许多多的困难。一般说来，用解析法证明几何问题时，建立直角坐标系的原则是 （1）尽可能使更多的点在坐标上； （2 ）尽可能利用对称性。 例 1．已知 P 为矩形 ABCD 所在平面内一点 （1）求证：| PA |2 +| PC |2 | PB |2 +| PD |2 （2 ）若P 不在矩形 ABCD 外，是否存在 P 到矩形各顶点的距离的平 方和最大证明你的结论。 分析：利用几何法求解最值不容易时，可采用解析法，联系坐标利用函数求解最值。 解：(1)证明：以 AB 所在的直线为 x 轴，以 A 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系。 设 A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b ）P(x,y) | PA |2 +| PC |2 (x −0)2 +(y −0)2 +x −a)2 +(y −b)2 = x 2 +y 2 +(x −a)2 +(y −b)2 | PB |2 +| PD |2 (x −a)2 +y 2 +x 2 +(y −b)2 = x 2 +y 2 +(x −a)2 +(y −b)2 所以 | PA |2 +| PC |2 | PB |2 +| PD |2 （2 ）假设存在P 点满足题意，则有： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | PA | +| PC | +| PB | +| PD | = x +y +(x −a) +y + (x −a) +(y −b) 2 2 2 2  a   b  2 2 + x +(y −b) = 4 x 4 y +a +b (0 ≤x ≤a,0 ≤y ≤b)  −  + −   2   2  a b a b   所以当x , y 时，既P  , 时，存在P 到矩形各顶点的距离的平方和最大。 2 2 2 2   利用以上这两点原则建立坐标系，不但简化了解题的速度，而且有时还给我们以美的 感觉，在数学美中有时还会找到好的方法，因为图形外在的对称美，往往产生内在数学代 数式的对称的美，让你产生好奇，让你又所发现，让你有所收获，你说这不能在你的思维 上受到深刻的启迪吗？ 二、“减肥”以后用“弦长公式” 许多的时候,要计算直线与曲线相交所截得的弦长,对于圆的弦长,一般应用勾股定理,而抛物 线的焦点弦的弦长一般用| AB | x1 +x 2 +p ,对于一般的弦长则用： | AB | [(x +x ) −4x x ](1+k 2 )