考研_线性代数_笔记精华_3打印.docVIP

一章 行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│ 2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│ 3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1 若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1 4、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法） 1）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题 1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出 第二章 矩阵 一、重点 1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法 3）矩阵的初等变换方法 二、难点 1、矩阵的求逆矩阵的初等变换 2、初等变换与初等矩阵的关系 三、重要公式及难点解析 1、线性运算 1）交换律一般不成立，即AB≠BA 2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵 (A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2 (AB)2=(AB)(AB)≠A2B2 (AB)k≠AkBk (A+B)(A-B)≠A2-B2 以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。 3）由AB=0不能得出A=0或B=0 4）由AB=AC不能得出B=C 5）由A2=A不能得出A=I或A=0 6）由A2=0不能得出A=0 7）数乘矩阵与数乘行列式的区别 2、逆矩阵 1）(A–1)–1＝A 2）(kA) –1=(1/k)A–1，（k≠0） 3）(AB)–1=B–1A–1 4）(A–1)T=(AT)–1 5）│A–1│=│A│–1 3、矩阵转置 1）(AT)T＝A 2）(kA) T=kAT，（k为任意实数） 3）(AB)T=BTAT 4）(A+B)T=AT+BT 4、伴随矩阵 1）A*A＝A A*=│A│I (AB)*=B*A* 2）(A*)*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ,(n≥2) 3）(kA)*=kn-1A* (A*)T=(AT)* 4）若r(A)=n，则r (A*)=n 若r(A)=n-1，则r (A*)=1 若r(A) 5）若A可逆，则(A*)-1=(1/│A│)A，(A*)-1＝(A-1)*，A*＝│A│A-1 5、初等变换（三种） 1）对调二行（列） 2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素 3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素 注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用 ②求逆阵，只能用行或列变换 ③求线性方程组的解，只能用行变换 6、初等矩阵 1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵 2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换 3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵 E-1ij=Eij，E(-1)i(k)=Ei(1/k)，E(-1)ij(k)=Eij(-k) 7、矩阵方程 1）含有未知矩阵的等式 2）矩阵方程有解的充要条件 AX=B有解==B的每列可由A的列向量线性表示 ==r(A)=r(A┆B) 四、题型及解题思路 1、有关矩阵的概念及性质的命题 2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置） 3、矩阵可逆的判定 n阶方阵A可逆==存在n