空间几何体结构及练习题.docVIP

§1－2空间几何体的结构 【知识要点】 1．简单空间几何体的基本概念： (1) (2)特殊的四棱柱： (3)其他空间几何体的基本概念： 几何体 基本概念 正棱锥 底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心 正棱台 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台 圆柱 以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体 圆锥 以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体 圆台 以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体 球面 半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面 球 球面所围成的几何体 几何体 性质 补充说明 棱柱 (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形 (1)直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及对角面都是矩形(2)长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和 正棱锥 (1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形 球 (1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截面(2)球心到截面的距离d，球的半径R，截面圆的半径r满足 (1)过球心的截面叫球的大圆，不过球心的截面叫球的小圆(2)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度(两点的球面距离) ??相交，过F上任意一点M作直线MM1平行于l，交平面??于点M1，则点M1叫做点M在平面??内关于直线l的平行投影．如果图形F上的所有点在平面??内关于直线l的平行投影构成图形F1，则F1叫图形F在??内关于直线l的平行投影．平面??叫投射面，直线l叫投射线． ②平行投影的性质： 性质1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 性质2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 性质3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； 性质4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等； 性质5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比． (2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图． (3)三视图： ①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影． ②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图． 将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图． ③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”． 4．简单几何体的表面积与体积： (1)柱体、锥体、台体和球的表面积： ①S直棱柱侧面积＝ch，其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高． ②，其中c为底面多边形的周长，h＇为正棱锥的斜高． ③，其中c＇，c分别是棱台的上、下底面周长，h＇为正棱台的斜高． ④S圆柱侧面积＝2?Rh，其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高． ⑤S圆锥侧面积＝?Rl，其中R是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长． ⑥S球＝4?R2，其中R是球的半径． (2)柱体、锥体、台体和球的体积： ①V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高． ②，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． ③，其中S＇，S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体的高． ④，其中R是球的半径． 【复习要求】 1．了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征； 2．会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图； 3．理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式． 【例题分析】 例1 如图，正三棱锥P－ABC的底面边长为a，侧棱长为b． (Ⅰ)证明：PA⊥BC； (Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积； (Ⅲ)求三棱锥P－ABC的体积． 【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC(PA)垂直于经过PA(BC)的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据正三棱锥的基本性质进行求解． 证明：(Ⅰ)取BC中点D，连接AD，PD． ∵P－ABC是正三棱锥， ∴△ABC是正三角形，三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形． ∵D是BC的中点，∴BC⊥AD，且BC⊥PD， ∴BC⊥平面PAD，∴PA⊥BC． (Ⅱ)解：在Rt△PBD中， ∴ ∵三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形， ∴三棱锥P－ABC的侧面积是 ∴△ABC是边长为a的正三角形，∴三棱