第一节 微分方程的基本概念第二节 可分离变量的微分方程 及.pptVIP

导数与微分 例3 验证：函数x=C1 cos kt+C2 sin kt是微分方程 小结与思考 概括的说，只要含有未知函数的导数或微分的方程就是微分方程。对于微分方程及其基本概念我们今后经常用到，大家要理解和熟悉它们。这些概念是微分方程的定义和微分方程的解，微分方程的通解和特解，尤其是搞清楚通解的定义，理解什么是“独立的任意常数”。 建立微分方程的方法： 1、直接法： 直接由几何条件或物理定律列出（因变量与自变量）的微分方程。 2、间接法： 借助中间变量间接地建立因变量与自变量的联系，列出微分方程。 二、齐次方程 例1 解微分方程 例2 解微分方程 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 说明: 小结与思考 可分离变量的微分方程和齐次微分方程是较简单的微分方程。可分离变量的微分方程是一阶线性微分方程的特殊形式，而齐次方程又可以转化为可分离变量的微分方程来解。 小结与思考 通过这节课的学习，我们认识了二阶常系数线性齐次微分方程，并且会求这类方程的通解和特解了。我们看到，求解二阶常系数线性齐次方程不必积分，只要用代数方程求出特征方程的根就可以写出微分方程的通解了。而只需要将初值条件代入方程，就可得到特解。 小结与思考 这节课我们认识了二阶常系数线性非齐次微分方程，学习了这类方程的解的性质和通解的结构，并且讨论了当自由项为多项式、多项式乘以指数函数或为三角函数时特解的解法。主要解题方法还是结合了特征方程和特征根的情形。大家要把握住方程的特解与自由项具有相同的结构这一原则。 一、用微分方程解决实际问题的一般步骤 小结与思考 建立起实际问题的数学模型一般是比较困难的，因为这需要对于问题有关的自然规律有一个清晰的了解，同时也需要有一定的数学知识。为了要建立起实际问题的数学模型，同学们一定要学习有关的自然科学和工程技术的专业知识。微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型，我们在建立微分方程的时候，只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素，而把其他一些次要因素忽略掉，如果的确考虑到了那些最主要的因素，那么，我们所得到的微分方程及它的解和所考虑的物理现象就是比较接近的，这时，我们得到的数学模型是有用的；否则，我们还应该考虑其他的一些因素，以便建立起更为合理的数学模型。 综上讨论 注意: 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. 特别地 例1 解: 特征方程 特征根 对应齐次方程通解 代入方程, 得 原方程通解为 求通解 解: 特征方程 特征根 齐次通解 即 代入（*）式 非齐通解为 例2 分别是 的实部和虚部 可设 辅助方程 由分解定理 分别是以 为自由项的非齐次线性微分方程的特解 注意: 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 例3 解: 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 （取虚部） 原方程通解为 这种方法称为复数法 例4 解: 对应次齐方程通解 作辅助方程 代入辅助方程 所求非齐方程特解为 （取实部） 原方程通解为 注意: 例5 解: 对应齐方程通解 用常数变易法求非齐方程通解 原方程通解为 例6 求通解 解: 相应齐次方程 特征方程 齐次方程通解 先求 的特解 设 代入方程 再求 的特解 考虑辅助方程 可设 代入方程得 取实部得 原方程的特解 所求通解为 例7 设 具有连续的二阶偏导数 且满足 求 u 的表达式 解: 记 则 同理 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程 解得 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子8米，另一端离钉子12米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间 下段重为 解: 设时刻 t 链条下落了 x 米 另设链条单位长重为 则上段重为 由Newton第二定律 例8 特征方程 特征根 齐次通解 特解 故 代入初始条件 解得 小结 (待定系数法) 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐次方程特解. 一、用微分方程解决实际问题 的一般步骤 二、应用实例 第六节 微分方程的应用 (1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件； (2) 求出微分方程的通解； (3) 根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解． 本节将通过一些实例说明微分方程的应用． 例1