反例在数学分析中的若干应用.pptVIP

答辩人：专业：数学与应用数学 指导老师： 日期：2012年05月25日 一 综述 二 论文结构 三 反例应用列举 四 应用反例时应注意的问题 五 反例的若干构造方法 研究意义：反例是一种重要的数学方法，在数学分析的学习中起着无可比拟的重要作用，它开辟了数学领域的新天地，是数学分析理论中不可或缺的重要组成部分，本文主要对反例在数学分析中的若干应用，应用反例时应注意的问题以及反例的构造方法进行归纳总结，旨在对数学分析的学习起到一定的参考价值。 1. 应用反例以透彻理解定义定理及概念 函数极限定义：设函数 在 的去心领域内有定义 ，如果存在常数A ，对于 ， ，当 时，有 成立， 则称函数 当 时存在极限，极限是A，记为： 或 2. 应用反例以促进思考，拓展知识面 函数的点点收敛与一致收敛知识的拓展 在学习完函数列点点收敛和一致收敛之后，我们可以很容易的推出一致收敛的函数列必定点点收敛，那么，点点收敛的函数列是否必定一致收敛呢？此时从正面论证是不容易的，若能从反面找到点点收敛但却不一致收敛的函数列，则可很容易得出结论。如下的反例则是最好的证明。 3. 应用反例以克服思维定式 微积分创立始初，科学界曾长期认为“连续函数除个别点外总是处处可导的”，1872年德国数学家Weiestrass 却构造出了一个处处连续而处处不可导的函数： 其中b是奇函数， 且 ，这一反例震惊了数学界，给了思维定势致命一击，在学习中，在习惯性程序的影响下，我们容易形成固定的思维模式，而反例则可以打破这一思维定势。 1.分清主次，学习中主要学习概念、定理和方法 ，举反例重在辨清是非，因此，反例应该作为围绕主要内容而进行的有效的辅助学习手段. 2.运用适当 ，反例应是经过挑选的，既要简单又要能够说明问题，难度应适当，以免浪费不必要的时间和精力。 3.牢记一些典型函数，如狄利克雷函数等的各方面性质，在反例的实际应用中会有很大的帮助. 1. 特例构造法 特例构造法是利用一些典型的反例经科学的凑合，就可提出所需的反例。 例： 在 处连续，是否存在 的领域，使 在该领域内连续. 分析：我们可以构造这样的反例来求解，我们知道狄利克雷函数： 处处不连续 ，利用这个例子，做 易知， 只在 连续， 在其他地方都不连续。 2. 性质构造法 性质构造法就是根据所需反例本身的性质和特征，用一定技巧构造反例的方法. 例： Schwardz不等式：若 与 在 可积，则： 有言：“上式等号成立当且仅当 和 是线性相关的函数”而事实上，二者线性相关仅是上式成立的充分条件，可举反例，找两个线性无关的函数，但满足Schwardz不等式.如下： 构造 区间上的函数 ，满足 当 （p,q为互质的正整数， ）时， ； 当 时 ；当x为无理数时， . Van der Waerden将振动曲线改进为折线 ， 构造出一个无处可微但处处连续的例子: 后来又有许多数学家在上述两个例子的基础上又构造出 了一系列无处可微但处处连续的例子，做为数学科学学院的 学生，我们也应该从伟人的思想中吸取经验，充分利用好反 例，学好数学分析这门课程。 * 反例 反例的若干应用 反例的 构造方法 理解定理概念 促进思考，拓展知识面 克服思维定式 应用反例时应 注意的问题 特例构造法 性质构造法 类比构造法 在此定义中，要求函数 在 的去心领域内有定义，如果 在 点没定义，那么 在 点的极限是否还存在呢？答案是极限仍然存在，因为存在反例： 例：函数 分析：该函数在点 无定义，但 所以，通过此反例我们得出：函数在没定义的点是可以有极限的。 反例就像一面镜子，让我们可以站在问题的对立面去观察、分析和研究学习过程中所遇到的问题，