导数的概念及四则运算.docVIP

导数的概念及四则运算 　　[主要内容]　　1．导数的概念 　　2．导数的几何意义 　　3．几个常见函数的导数 　　4．导数的四则运算 　　[目的要求] 　　1．通过丰富的实际材料体验导数的背景； 　　2．理解导数的概念及其几何意义； 　　3．熟记函数C，xm(mQ), sinx, cosx , ex, ax, lnx, logax的导数公式，掌握函数四则运算的求导法则，会求简单函数的导数。 　　[重点] 　　1．对导数概念的理解； 　　2．根据定义求简单函数的导数的方法。 　　[难点] 对导数概念的理解。　　[学习内容] 　　1．导数的概念 　　对课本上的几个具体的例子，如瞬时速度、切线斜率等要注意体会其中蕴含的共性——变化率，从而抽象出导数的概念。 　　若函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，当自变量在x=x0处有增量Δx时，则函数y=f(x)相应地有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，若Δx→0时，有极限，则称此极限为函数y=f(x)在x→x0处的导数，即。 　　注：　　（1）f(x)应在x0附近有定义 　　（2）Δx可正，可负，但不为0 　　（3）f＇(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率，切线方程为：　　y-f(x0)=f＇(x0)(x-x0)。 　　（4）若y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，则相应地有y=f(x)在开区间(a,b)内的导函数f＇(x)，y=f(x)在点x0处的导数就是导函数f＇(x)在点x0的函数值。 　　2．几个常用的导数： 　　(C)′=0, (xn)′=nxn-1(n∈Q) 　　(sinx)′=cosx, (cosx)′=-sinx 　　3．函数的和、差、积、商的导数（c是常数） 　　(u±v)′=u′±v′　　 (uv)′=u′v+uv′ 　　　　　(cu)′=cu′ 　　[典型例题] 　　例1．求函数在x=1处的导数。 　　解法一：可直接利用导数定义求解 　　　　　　. 　　解法二：可先求出该函数的导函数，再将x=1代入，求f＇(1) 　　　　　　， 　　。 　　例2．若f(x)在x=x0处的导数为f′(x0)，试用f′(x0)表示下列各式： 　　（1） 　　（2） 　　解：（1）原式= 　　。 　　（2）原式= 　　 　　反思：从本质上理解导数的概念，灵活变形寻求表达式与定义式的联系是解题的关键。 　　例3．已知曲线，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切线方程。 　　解：　　令，得x=4, 将x=4代入中得y=5 　　 切点坐标是(4,5)， 切线方程为：. 　　即：x-2y+6=0。 　　例4．求下列函数的导数 　　（1）　　（2）f(x)=(x3+1)(2x2+8x-3) 　　（3）y=cotx　　 　（4） 　　解：（1）。 　　（2）f′(x)=(x3+1)′(2x2+8x-3)+(x3+1)(2x2+8x-3)′ 　　=3x2(2x2+8x-3)+(x3+1)(4x+8) 　　=6x4+24x3-9x2+4x3+8x3+4x+8 　　=10x4+32x3-9x2+4x+8 　　（3）y′=(cotx)′ 　　 　　（4） 　　 　　例5．已知a0，函数，x(0,+∞)，设，记曲线y=f(x)在点M(x1, f(x1))处的切线为l. 　　（1）求l的方程； 　　（2）设l与x轴交点为(x2,0)，证明：； 若，则 　　解：（1）　　 切线l的方程为： 　　（2）证明：在切线方程中令y=0，则x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1)，其中. 　　由，x2=x1(2-ax1) 　　有x20及 　　,当且仅当时，。 　　当时，ax11, 　　 x2=x1(2-ax1)x1 　　由有, ∴ . 　　例6．已知抛物线C1：y=x2+2x，和C2：y=-x2+a，若直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。 　　（1）a取何值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。 　　（2）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。 　　解：（1） (x2+2x)′=2x+2 　　 C1在点P(x1，x12+2x1)处的切线方程是： 　　 即 　　 （-x2+a)′=-2x 　　 C2在点Q(x2, -x22+a)的切线方程是： 　　即： 　　若直线l是过P、Q的公切线，则应有： 　　消