数形结合在数学中的应用.docVIP

一、利用数形结合思想解决集合的问题． 1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题． 一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．如： 　例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？ 分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有： 即： ∴，即同时参加数理化小组的有1人． 2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题． 　　例2、已知集合 　　⑴若，求的范围.⑵若，求的范围． 　　分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有：，这时的值不可能存在．要使，当a 0时集合A应该覆盖集合B，应有成立．. 当时，，显然成立.故时的取值范围为： 二.利用数形结合思想解决方程和不等式问题． 1.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题． 通过的相互转化，利用函数y=f(x)的图象直观解决问题．如： 例3、如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式． 分析：我们可联想对应的二次函数， 的草图．这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有 公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标．由配方方法可知与的顶点分别为：．故可求出与应满足的关系式为：． 2.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集． 求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集．如 例4、解不等式． 分析：我们可先联想对应的二次函数的图像．从解得知该抛物线与轴交点横坐标为-2，3，当取交点两侧的值时，即时，．即．故可得不等式的解集为：． 三、利用数形结合思想解决比较大小问题． 1.构造函数利用函数图像比较大小 　　一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．如： 例5、试判断三个数间的大小． 分析：这三个数我们可以看成三个函数：在时，所对应的函数值．在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论：． 2．利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形，找出代数问题的几何背景，简便解答某些代数综合题． 求证：　 （a与c、b与d不同时相等） 分析：考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式．在平面直角坐标系中设A（a，b），B(c，d)，O(0，0). 如图｜AB｜＝，｜AO｜＝，｜BO｜＝，当A、B、O三点不共线时，｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜.当A、B、O三点共线，且A、B在O点同侧时，｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜.当A、B、O三点共线，且A、B在O点异侧时，或A、B之一与原点O重合时，｜AB｜＝｜AO｜+｜BO｜．综上可证. 数形结合是中学数学中重要基本思想方法之一，华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞. 数缺形时少直观， 形少数时难入微.”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化．