数形结合思想在高考解题中的应用.docVIP

数形结合思想在高考解题中的应用 数形结合不仅是一种重要的解题方法，也是一种的思维方法。它在中学数学教学中占有重要的地位，也是历年高考重点考察的内容之一。在运用数形结合解题时要注意以下两点：（1）“形”中觅“数”：根据形的直观性来寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题得到解决； （2）“数”中构“形”：根据代数问题具有的几何特征，进而发现数与形之间的关系，从而使代数问题几何化，使问题得到解决。 下面通过一些典型例题来说明数形结合思想在解题中的运用。 题型一、集合问题 例1．已知集合A=,则集合____________________. 解析：利用数轴表示，可得 评注：本题考查集合的基本运算，属容易题。 题型二、函数问题 例2．点P（x,y）在直线上，且x,y满足，则P到坐标原点距离的取值范围是__________________. 解析：如图，直线分别与直线的交点为易知，故的取值范围为 评注：考查两点间的距离公式及分析、解决问题的能力。注意虽然，但的取值范围不是。 题型三、三角问题 例3函数的值域是_______________. 解析：原式可化为= 由数形结合思想得可理解为动点与定点连线斜率的取值范围，可求取值范围是，由此可求得的值域为，当时，，所以值域是。 评注：本题主要考查利用数形结合研究函数的最值，题目较繁琐，应加强运算能力的培养。 题型四、不等式问题 例4设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数的图象过区域M的的取值范围是_______________________. 解析：作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得 当过时，取最大值，此时；当过时，取最小值，此时。 评注：本题考查了线性规划与指数函数，解决本题的关键是正确作图。 题型五、方程问题 例5等腰三角形两腰所在直线的方程分别为和，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为_______________. 解析：如图，由题意知是等腰三角形两腰所在的直线方程，因其底边过原点，则设底边所在直线的斜率为。 由到BC边的角等于BC到的角得 评注：本小题考查了直线到直线的角的公式的应用。 题型六、数列问题 例6设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___________. 解析：设等差数列的首项为，公差为， 则即 即 又 因此的最大值可转化为在线性约束条件限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如下图，可知当经过点时有最大值4。 评注：本题以等差数列为载体，考查线性规划问题。求解本题转化为线性规划问题是关键，本题对综合运用知识能力的要求较高。 题型七、解析几何问题 例7已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆上，对角线BD所在直线的斜率为1。 当直线BD过点时，求直线AC的方程； 当时，求菱形ABCD面积的最大值。 解析：（1）由题意得直线BD的方程为 因为四边形ABCD为菱形，所以 于是可设直线AC的方程为 由，得 因为A,C在椭圆上， 所以解得 设A,C两点坐标分别为 则 所以 所以AC的中点坐标为 由四边形为菱形可知，点在直线上 所以解得 所以直线AC的方程为 （2）因为四边形ABCD为菱形，且， 所以 所以菱形ABCD的面积， 由（1）可得 所以 所以当时菱形ABCD面积取得最大值。 评注：本题主要考查椭圆的几何性质、菱形的性质等知识，解决本题的关键是利用解析思路用代数式子来保证题中几何位置关系成立。 。 。