数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言.docVIP

数形结合思想 黄根水 数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来，它在解选择题和填空题的时候非常有用，在解答高考大题的时候也可以帮助打开思路．数形结合作为一种重要的数学思想方法，历年来一直是高考考查的重点之一，纵观近两年的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果．从目前高考“注重通法，淡化技巧”的命题原则来看，应重点关注解析几何中图象的几何意义以及函数图象的充分利用． 数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一种是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；另一种是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点1.要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义； 2．恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化； 3．正确确定参数的取值范围． 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位．近几年的高考题中的解析几何问题、函数与不等式问题、参数范围问题、集合问题、立体几何问题等都用到了数形结合的思想方法．数形结合思想不仅是我们解题的一种思想方法，还是我们进一步学习、研究数学的有力武器． 应用数形结合思想方法解题，通常可以从以下几个方面入手： 1.函数式与函数图象． 2.不等式与函数图象． 3.圆与方程． 4.参数本身的几何意义． 5.代数式的结构特点． 6.概念自身的几何意义． 7.可行域与目标函数的最值. 8.利用向量的两重性. 　已类型一　数形结合解决函数问题 【例1】知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是(　　) A.∪(0,1)∪ B.∪(0,1)∪ C．(－3,1)(0,1)∪(1,3) D.∪(0,1)∪(1,3) [分析]　在同一坐标系内，画出(－3,3)上的f(x)及y＝cosx的图象，利用图象确定解集． →→[解析]　不等式f(x)cosx0等价于 或 画出f(x)在(－3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间为(0,1)∪.故选B. [答案]　B [点评]　(1)有关数的问题可借助图形的性质，使问题直观化． (2)f(x)在y轴左边的图象是利用奇函数的图象关于原点对称画出的，体现了数学对称的思想方法． 【探究1】　f(x)＝若不等式f(x)≥2x－m恒成立，求实数m的取值范围． 解　在同一坐标系中分别画出函数y＝2x－m及y＝f(x)的图象(如图)，由于不等式f(x)≥2x－m恒成立，所以函数y＝2x－m的图象应总在函数y＝f(x)图象的下方，因此，当x＝－2时，y＝－4－m≤0，所以m≥－4，所以m的取值范围是[－4，＋∞)． 点评　此题属于不等式恒成立问题，先利用图象的上、下位置关系确定直线的位置，然后再还原即可．解不等式或证明不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系来确定不等式的解集或证明不等式． 类型二　数形结合解决方程问题 【例2】　已知二次函数y＝f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数y＝f2(x)的图象与直线y＝x的两个交点间的距离为8，f(x)＝f1(x)＋f2(x)． (1)求函数f(x)的表达式； (2)证明：当a3时，关于x的方程f(x)＝f(a)有三个实数解． [分析]　利用待定系数法求出f(x)，借助图形或对方程f(x)＝f(a)同解变形确定方程根的个数． →→ 为顶点，开口向下的抛物线(如图所示)． 因此，f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点， 即f(x)＝f(a)有一个负数解． 又f2(2)＝4，f3(2)＝－4＋a2＋， 当a3时，f3(2)－f2(2)＝a2＋－80， 当a3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2，f3(2))在f2(x)图象的上方． f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点， 即f(x)＝f(a)有两个正数解． 因此，方程f(x)＝f(a)有三个实数解． 证法二：由f(x)＝f(a)，得x2＋＝a2＋， 即(x－a)＝0，得方程的一个解x1＝a. 方程x＋a－＝0化为ax2＋a2x－8＝0， 由a3，Δ＝a4＋32a0，得 x＝， x2＝， x3＝， a3，x1≠x2.若x1＝x3，则3a2＝，a4＝4a，解得a＝0或a＝，